等腰三角形的判定
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且∠ABD=∠ACE，【目标导航】
BD、CE相交于点O．求证：BO=CO．
掌握等腰三角形的判定定理并能较为熟练加以应用．
A
【要点梳理】
等腰三角形的判定方法：
（1）有两条边 的三角形是等腰三角E形；
OD
答案：相等
BC
（2）如果一个三角形有 ，那么
这两个角所对的边也相等（简写为答案：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵“ ”）． ∠ABD=∠ACE，∴∠DBC=∠EBC，∴答案：两个角相等，等角对等边
BO=CO．
【问题探究】
例3 根据条件先填空，后找规律．
如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O（1）如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，则处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这△ 是等腰三角形；
两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大（2）如图，AD平分∠BAC，CE∥AB，则约同时赶到出事地点？
△ 是等腰三角形；
（3）如图，AD平分∠BAC，CE∥AD，则 △ 是等腰三角形；
（4）如图，AD平分∠BAC， EF∥AD，交
AB于点G，则△ 是等腰三角形； 答案：能，作OD⊥AB于点D，则∠ODA=∠由上可发现，当题设中有 和 ODB=90°，又∵∠A=∠B，OD=OD，∴△OAD两个条件时，图形中一般会有 出现．
≌△OBD（AAS），∴OA= OD.因为这两艘船的 速度相同，所以能同时赶到出事地点.
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行 于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角 形．
答案：已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1= ∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.
证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C. ∵∠1=∠2，∴∠B=∠C.∴AB=AC.
答案：（1）ADE，（2）ACE，（3）ACE，
（4）AGE；角平分线，平行线，等腰三角形
例4 如图，标杆AB高5 m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D，E两点拉两条绳子，使得点D，B，E在一直线上．量得DE=4 m，绳子CD和CE要多长？
D B E
答案：选取比例为1:100：（1）作线段DE=4cm；（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；（3）在MN上截取BC=2.5cm；（4）连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以计算出要求的绳长.
【课堂操练】
1． 如图，∠A=36°，∠C=72°， ∠DBC=36°．分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
答案：∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°，∴∠2=∠ABC—∠DBC=36°. ∠1=∠A+∠2=72°.
图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD. 2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
答案：由重叠的角相等，及内错角相等，可得重叠的三角形两个角相等，所以是一个等腰三角形. 3．知图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB．求证：OC=OD．
答案：∵OA=OB，∴∠A=∠B．∵AB∥DC，∴∠C=∠A，∠D =∠B．∴∠C=∠D．∴OC=OD．
4．如图，在△ABC中，AB=AC, ∠DBC＝∠DCB．
求证：AD⊥BC．（用两种方法证明）
A
D BC
答案：证明一：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD．∵∠DBC=∠DCB，∴BD=CD．∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD=∠CAD．∴AD⊥BC．
证明二：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵∠DBC=∠DCB，∴BD=CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD⊥BC．
5．上午8时，一条船从A处出发以15海里每小时的速度向正北航行，10时到达B处．从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求：从B处到灯塔C的距离．
CN B A
答案：∵∠C=∠NBC—∠NAC＝84°—42°=42°，
∴∠C=∠NAC.∴BC=BA.∵BA=15×(10—北C8)=30(海里)，∴BC=30(海里).
【课后巩固】 1．已知等腰三角形的底角等于顶角的两倍，则60°30°它的顶角的度数是 ．
答案：36°
AB 2．等腰三角形的一个外角等于130°，则它的答案：200 一个底角等于 ． 9．如图，已知△ABC中，AB=AC，E是AB答案：50°或65° 上一点，DE⊥BC于点D，DE的延长线交3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CA的延长线于点F，那么△AEF是等腰三AD是角平分线，DE⊥AB于点E，AD、CE相角形吗？为什么？ 交于点G，则图中等腰三角形的个数为
个．
答案：3 答案：是. 4．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分∵AB=AC，∴∠B=∠C. 线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点∵DE⊥BC，∴∠EDB=D，交AC于点E，若BD＋CE=9，则线段DE∠FDC=90°.∴∠B+∠的长为 ． BED=∠C+∠F=90°.∴ ∠BED=∠F. 又∵∠ BED=∠AEF，∴∠ AEF=∠F.∴AF=AE.∴ △AEF是等腰三角形. 答案：9
（第3题） （第4题）
5．在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC， ∠BDC=72°，则∠A的度数为 ． 10．如图，已知AB=AD，答案：36° ∠ABC=∠ADC． 6．在等腰三角形ABC中，AB的长是BC的2求证：BC=DC．
倍，周长是40，则AB的长是 ．
答案：8
7．若三角形的三边a、b、c满足 答案：连接BD. （a－b）（b－c）（c－a）=0，则它 等∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵腰三角形．（填“是”或“不是”） ∠ABC=∠ADC，∴∠ CBD=∠CDB．∴答案：是 BC=DC． 8. （2011年浙江衢州中考）在一次夏令营活动
中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏11．如图，在△ABC中，点D、E、F分别东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m在BC、AB、AC上，BD=CF，BE=CD，DG到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达⊥EF于点G，EG=FG．求证：AB=AC． 目的地C(如图)，那么，由此可知，B、C两地
相距 m.
答案：连接DE，
DF.∵DG⊥EF于点G，EG=FG，∴DE=DF．又∵BD=CF，BE=CD，∴△ BDE≌△CFD．∴∠B=∠C．∴AB⊥AC． 12．如图，已知CE、CF分别是∠ACB和它的外角∠ACM的平分线，EF∥BC交AC于点D．求证：DE=DF.
答案：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ECD．∵EF∥BC，∠DEC=∠BCE．∴∠DEC=∠DCE．∴DE=DC．同理，可证DC=DF.∴DE=DF.
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥BA于D，AE平分∠BAC交CD于点F，交BC于点E．求证：△CEF是等腰三角形．
答案：∵CD⊥BA，∴∠DAF+∠AFD=90°．∵∠ACB=90°，∠AEC+∠CAE=90°．∵∠DAF=∠CAE，∴∠AFD=∠AEC．又∵∠AFD=∠CFE，∴∠CFE=∠AEC．∴∠CF=CE．∴△CEF是等腰三角形．
14. （2011年江苏常州中考）已知:如图，在
△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，ED=DC．求证：AB=AC．
A E
B D C 答案：∵AD平分∠ EDC，∴∠ADE=∠ADC，
又DE=DC，AD=AD，∴△ADE≌△ADC， ∴∠E=∠C．又∠E=∠B， ∴∠B =∠C， ∴AB=AC．
15．已知：如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E． 求证：∠C=∠D．
A BE
DC
答案：连接AC，AD.∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，∴△ABC≌△AED(SAS)．∴∠ACB=∠ADE，AC=AD，∴∠ADC=∠ACD. ∴∠EDC=∠BCD．
【课外拓展】
16．如图，在△ABC中，DC⊥AC，∠1=∠2，DA=DB．
求证：AB=2AC．
答案：作DE⊥AB于点E，∵DC⊥AC，∴∠DEA=∠DCA=90°．又∵∠1=∠2，AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴AE=AC．∵DA=DB，DE⊥AB，∴AE=AB．∴AB=2AE=2AC，即AB=2AC．
17．如图，在4个正方形拼成的图形的中，以这10个点中任意三点为顶点，共能组成 个等腰直角三角形．请写出你的探究过程．
答案：44
每个小正方形的两条对角线可分得8个等腰直角三角形，则4个共有32个等腰三角形；有公共边的相邻两个小正方形又得两个等腰直角三角形（如△A1A3A7），这样的情况共有6个等腰三角形；另外还有等腰Rt△A2A4A10与等腰Rt△A,3A5A9，以及等腰Rt△A1A8A9，等腰Rt△A,6A7A10，等腰Rt△A,1A9A7，等腰Rt△A,6A8A10，所以图中共有等腰三角形32+6+2+4=44个.