第4章 气体动理论基础
4-1为什么说系统分子数太少时，不能谈论压强与温度？
答：对少数几个分子而言不能构成热力学系统，分子间确实频繁碰撞，分子速率不满足统计规律，无论是从压强和温度的定义上来讲，还是从压强与温度公式的推导来看，都不满足谈论压强和温度的条件。
4-2已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为105pa，求此气体内单位体积里的分子数。
P1?10525?3??2.415?10解：由 P?nkT，有 n?[m] ?23kT1.38?10?300
?34-3一个温度为17℃、容积11.2?10m的真空系统已抽到其真空度为1.33?10pa。
?33为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来。烘烤后容器内压强为1.33pa,问器壁原来吸附了多少个分子?
P1.33?10?3??3.32?1017[m?3] 解：(1)当t?17℃?290K: n??23kT1.38?10?290 N?nV?3.32?10?11.52?10
(1)当t?300℃?573K: n'?17?3?3.72?1014
P'?1.682?1020[m?3] kT'18 N'?n'V?1.884?10
?N?N'?N?1.88?1018
4-4 比较平衡态下分子的平均平动动能、平均动能、平均能量哪个最大？哪个最小？
答：平均动能=平均平动动能+平均转动动能>平均平动动能
平均能量=平均动能+平均势能>平均动能
4-5 指出下列各式的物理意义：(1) 答：(1)
3i3ikT; (2) kT;(3) RT;(4) RT。 22223kT：分子平均平动动能； 2 (2)
ikT：分子平均动能； 23(3) RT：1mol单原子理想气体内能；
2i(4) RT：1mol多原子理想气体内能。
2?21
4-6当氮气（N2）温度为0℃时，求：5.65?10J3.77?10?21J1.417?103J
（1）氮气分子的平均平动动能和平均转动动能； （2）7g氮气气体的内能。
解：（1）平均平动动能:?k1? 平均转动动能:?k2
(2) 7g氮气气体的摩尔数为：??33kT??1.38?10?23?273?5.65?10?21[J] 2222?kT??1.38?10?23?273?3.77?10?21[J] 2271?[mol] 284i5137g氮气气体的内能:E??RT???8.31?273?1.417?10[J]
2248
4-7某些恒星的温度达到10K的数量级，此时原子已不存在，只有质子存在，求： （1）质子的平均动能是多少？
（2）质子的方均根速率多大？(质子质量1.6726?10
解：质子的平均动能: ?k??27kg)
33kT??1.38?10?23?108?2.07?10?15[J] 222 质子的方均根速率:
3kT3?1.38?10?23?108v???1.573?106[ms-1] ?27m1.6726?104-8一容器被中间隔板分成相等体积的两半，一半装有氦气（He），温度250K；另一半装有氧气（O2），温度310K。两种气体的压强均为P0，求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？
解：(1)计算抽去隔板后的混合气体温度
据题意和理想气体状态方程有：
P0V0?T??1RT1??2RT2 得：?2?11 2T2又由理想气体内能公式和题意有：E?得：T?3535?1RT1??2RT2??1RT??2RT 22228T1?284.4[K] 5T13?T2（2）计算抽去隔板后的混合气体压强
由P?nkT计算 ，其中：n??1N0??2N0V?N0?1T(1?1) VT2P?nkT?
P0TT2?T1()?1.0275P0 2T1T24-9将麦克斯韦速率分布公式表示成以理想气体最概然速率vp为单位表示的形式，即令
a?1vx2，若已知?e?dx?0.7468，试计算下列问题：
0vp（1）分子速率小于最概然速率的分子占分子总数的百分比为多少？
（2）分子速率大于最概然速率的分子占分子总数的百分比为多少？
解：理想气体分子数占分子总数的比率为：dN/N = f(v)dv，
m3/2mv22)exp(?)v． 其中f(v)是麦克斯韦速率分布函数：f(v)?4?(2k?T2kT设x = v/vp，其中vp?2kT，则dv = vpdx， m4x2e?x．
2因此速率分为dN/N = g(x)dx，其中g(x)??（1）分子速率小于最概然速率的分子占分子总数的百分比为
N14??g(x)dx?N0?1112?xx?edx， 02设I?x2e?xdx，则
?0222111I??xe?xdx2???xde?x??(xe?x20202112110??e?xdx)
02即 I?1(0.7648?e?1)， 2所以
N142?I?(0.3648?e?1)= 0.4276 = 42.76%． N??（2）分子速率大于最概然速率的分子占分子总数的百分比为
N2N?1?1= 0.5724 = 57.24%． NN
4-10 依据麦克斯韦速率分布律，采用近似计算，求速率在0.99vp到1.01vp之间的分子数占分子总数的百分比。
解：利用4-9的结果：分子数比率为
42?x2?Nxe． ??g(x)dx，其中g(x)?N0.09?利用中值定理得
1.01?N4?1?g(1)(1.01?0.09)?e?0.02= 0.0166 = 1.66%． N?
4-11 有N个粒子，其速率分布函数为
f?v??dNav? (v0≥v≥0)， Ndvv0f?v??a (2v0≥v＞v0)，
f?v??0 (v＞2v0)
(1) 作速率分布曲线并由v0 求常数a； (2) 求粒子平均速率。 (3) 求速率大于v0的分子数。
解：(1) 作速率分布曲线
a f(v) 0 v0 2v0 v
由归一化条件计算常数a：
?v002v02ava?dv??adv?1v03v0 v0得：
v0av2v0dN11??vdv??vadv?v00v0Nv09
(2) 计算粒子平均速率：
v??2v00v(3) 计算速率大于v0的分子数：
N'?N?2v0v0f(v)dv?N?2v0v0adv?2N3
4-12质量为6.2?10?14g的微粒悬浮于27℃的液体中，观察到它的方均根速率为
1.4cm?s?1。由这些结果计算阿佛加德罗常数NA。
解：由v2?3kT?m3RT3RT有：NAmNA?3?8.31?30023-1
[mol] ??6.15?10?32?14?321.4?10）?6.2?10?10vm（
4-13火星的质量为地球质量的0.108倍，半径为地球的0.531倍，火星表面的逃逸速度多大？以表面温度240K计算，火星表面CO2和H2分子的方均根速率多大？以此说明火星表面的有CO2而无H2。(实际上，火星表面大气中96％是CO2。)
提示：地球表面的逃逸速度：v?2GM地球R地球?7.9?103[ m·s-1]
解：火星表面的逃逸速度: v?2GM火星R火星2?5.0?103[ m·s-1]
3kT?3.68?102[ m·s-1] mCO23kT?1.73?103[ m·s-1] mH2火星表面CO2的方均根速率：v?火星表面H2分子的方均根速率：v?2H2分子的方均根速率更接近火星表面的逃逸速度，久而久之火星上的H2逃逸殆尽。
4-14设海平面气温T?273K，气压p0?1.013?105Pa，忽略气温随高度的变化。求：(1)计算海拔约为3600m的拉萨的大气压；(2) 某人在海平面处每分钟呼吸16次，则他在拉萨需呼吸多少次才能吸入等量的空气？(空气的摩尔质量为??29?10kg/mol)，该人仍以每分钟呼吸16次时缺氧率多少？
解：（1）由气压随高度的变化公式计算海拔约为3600m的拉萨的大气压为：
?3P?P0e?gh?RT?0.646?105[ Pa]
（2）设某人在海平面处每分钟呼吸次数N0?16[ min-1]，每次呼吸的空气体积为V0，在拉
萨每分钟呼吸次数N,每次呼吸的空气体积仍为V0,由理想气体状态方程