2016年下学期九年级数学竞赛试题参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 B 5 A 6 B 7 B 8 A 9 C 10 C
二．填空题（共8小题，每小题4分，满分32分） 题号 答案 11 12 13 14 15 16 50° 17 18 2 16k≥?， s? 3h且k≠0 3 26?2x1=0， x2=2 442
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．（10分）解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A，A点的坐标为（4，2）， ∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；
（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，∴点C的坐标为C（8，4）， 设OB=x，则BC=x，BN=8﹣x，在Rt△CNB中，x﹣（8﹣x）=4， 解得：x=5，∴点B的坐标为B（5，0），
设直线BC的函数表达式为y=ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），
2
2
2
∴，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣，
根据题意得方程组，解此方程组得：或
∵点F在第一象限，∴点F的坐标为F（6，）．
20．（9分）解：（1）∵△=b﹣4ac=（﹣2m）﹣4（m﹣1）（m+1）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由求根公式，得x=
，∴x1=
=
，x2=
=1；
2
2
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∵m为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴x1=
=1+
，必为正整数，∴m﹣1=1或2，∴m=2或m=3．
21．（10分）（1）证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB， ∵∠B=∠ECB，∴△ABC∽△FCD； （2）∵△ABC∽△FCD，∴
，
∵D是BC边的中点，∴BC=2CD，∴AD=AC=2FD，
∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，∴∠EAD=∠ACE，∴△EAF∽△ECA， ∴
=，∴EC=2EA=4EF，∴FC=3EF．
22．（9分）解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线， 由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH， ∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，∵AB=32m，
∴AD=CD=AB?sin30°=16m，BD=AB?cos30°=16m， ∴BC=CD+BD=（16+16）m， 则BH=BC?sin30°=（8+8）m．
23．（10分）解：（1）∵抛物线y=x+bx+c经过点（﹣1，8）与点B（3，0）， ∴
2
2
2
解得：∴抛物线的解析式为：y=x﹣4x+3
2
（2）∵y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1，∴P（2，﹣1）
过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N，如下图所示：
S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB=3×4﹣×2×4﹣即：△CPB的面积为3
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﹣=3
24．（10分）解：（1）DE与⊙O相切． 证明：连接OD、AD， ∵点D是
的中点，∴
=
，∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE， ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切． （2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G， 由垂径定理可得：OH⊥BC，
=
=
，∴
=
，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，
∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线， ∴AC=2OH=8．
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