新华航空公司 合作 竞争 北方航空公司 合作 竞争 500000，500000 0，900000 900000，0 60000，60000 （2）如果新华航空公司选择竞争，则北方航空公司也会选择竞争（60000>0）；若新华航空公司选择合作，北方航空公司仍会选择竞争（900000>500000）。若北方航空公司选择竞争，新华航空公司也将选择竞争（60000>0）；若北方航空公司选择合作，新华航空公司仍会选择竞争（900000>0）。由于双方总偏好竞争，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略，每一家公司所获利润均为600000元。
12、设啤酒市场上有两家厂商，各自选择是生产高价啤酒还是低价啤酒，相应的利润（单位：
万元）由下图的得益矩阵给出：
（1）有哪些结果是纳什均衡？ （2）两厂商合作的结果是什么？
答（1）（低价，高价），（高价，低价） （2）（低价，高价）
13、A、B两企业利用广告进行竞争。若A、B两企业都做广告，在未来销售中，A企业可以获得20万元利润，B企业可获得8万元利润；若A企业做广告，B企业不做广告，A企业可获得25万元利润，B企业可获得2万元利润；若A企业不做广告，B企业做广告，A企业可获得10万元利润，B企业可获得12万元利润；若A、B两企业都不做广告，A企业可获得30万元利润，B企业可获得6万元利润。
（1）画出A、B两企业的支付矩阵。
（2）求纳什均衡。 3. 答：（1）由题目中所提供的信息，可画出A、B两企业的支付矩阵（如下表）。
B企业 做广告 不做广告 做广告 20，8 25，2 A企业 不做广告 10，12 30，6 （2）因为这是一个简单的完全信息静态博弈，对于纯策纳什均衡解可运用划横线法求解。
如果A厂商做广告，则B厂商的最优选择是做广告，因为做广告所获得的利润8大于不做广告获得的利润2，故在8下面划一横线。如果A厂商不做广告，则B厂商的最优选择也是做广告，因为做广告获得的利润为12，而不做广告的利润为6，故在12下面划一横线。
如果B厂商做广告，则A厂商的最优选择是做广告，因为做广告获得的利润20大于不做广告所获得的利润10，故在20下面划一横线。如果B厂商不做广告，A厂商的最优选择是不做广告，因为不做广告获得的利润30大于做广告所获得的利润25，故在30下面划一横线。
在本题中不存在混合策略的纳什均衡解，因此，最终的纯策略纳什均衡就是A、B两厂商都做广告。
15、求出下面博弈的纳什均衡(含纯策略和混合策略)。
乙 L R U 5,0 0,8 甲
D 2,6 4,5 由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。 可得如下不等式组
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
可得混合策略Nash均衡((1,8),(4,3)
9977
16、 某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。相应的利润由如下得益矩阵给出：
(1) 该博弈是否存在纳什均衡？如果存在的话，哪些结果是纳什均衡?
参考答案： 由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略Nash均衡，即(低质量, 高质量)， (高质量,低质量)。
乙企业 高质量 低质量 高质
50,50 100,800 甲企量 业 低质
900,600 -20,-30 量
该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡 Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630，可得x因此该问题的混合纳什均衡为((1297,8597),(63138,75138))?1297,y?63138
。
17、甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。试求出该博弈的纳什均衡。如果乙企业所在国政府想保护本国企业利
益，可以采取什么措施？
甲企业
乙企业 开发 不开发 开发 -10,-10 100,0 不开
0,100 0,0 发
解：用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。 ??10,?10??0,100100,0?0,0??
所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点(开发,不开发)和(不开发,开发)。 该博弈还有一个混合的纳什均衡((
101111,1),(
101111,1))。
如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴a个单位,则收益矩阵变为：
??10,?10?a??0,100?a100,0?0,0??,要使(不开发,开发)成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需a>10。
此时乙企业的收益为100+a。
18、博弈的收益矩阵如下表： 乙 左 右 上 a，b c，d 甲 下 e，f g，h （1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪些关系？（尽量把所有必要的关系式都写出来）
（2）如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？ （3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？
（4）在什么情况下，纯战略纳什均衡不存在？
答：（1）a?e，c?g，b?d，
f?h。本题另外一个思考角度是从占优策略
均衡的定义出发。对乙而言，占优策略为(b,f)?(d,h)；而对甲而言，占优策略为
(a,c)?(e,g)。综合起来可得到所需结论。
b?d，（2）纳什均衡只需满足：甲选上的策略时，同时乙选左的策略时，a?e。故本题中纳什均衡的条件为：b?d，a?e。
（3）占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。
（4）当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。
19、Smith和John玩数字匹配游戏，每个人选择1、2、3，如果数字相同， John给Smith 3美元，如果不同，Smith给John 1美元。 （1）列出收益矩阵。
（2）如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？
答：（1）此博弈的收益矩阵如下表。该博弈是零和博弈，无纳什均衡。 John 1 2 3 1 3，-3 -1，1 -1，1 Smith 2 -1，1 3，-3 -1，1 3 -1，1 -1，1 3，-3 （2）Smith选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，
John选1的效用为：U1John选2的效用为：U2John选3的效用为：U3?131313?(?3)?131313?1?1313?1??131313
??1??(?3)?13?1????1??1??(?3)??类似地，John选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时， Smith选1的效用为：U1'Smith选2的效用为：U2'Smith选3的效用为：U3'因为U1?131313?3?13?(?1)?13131313?(?1)?131313
??(?1)??3??(?1)?13??(?1)??(?1)??3?''?U2?U3，U1'?U2?U3，所以：
111??111(,,),(,,)??333333??是纳什均衡，策略值分别为John：U??13；Smith：U'?13。
20、假设双头垄断企业的成本函数分别为：C1为P?400?2Q2?20Q1，C2?2Q2，市场需求曲线
，其中，Q?Q1?Q2。
（1）求出古诺（Cournot）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反应和等利润曲线，并图示均衡点。
（2）求出斯塔克博格（Stackelberg）均衡情况下的产量、价格和利润，并以图形表示。
（3）说明导致上述两种均衡结果差异的原因。 答：（1）对于垄断企业1来说：
max[400?2(Q1?Q2)]Q1?20Q1190?Q2 ?Q1?2 这是垄断企业1的反应函数。 其等利润曲线为：?1?380Q1?2Q1Q2?2Q12
对垄断企业2来说：
2max[400?2(Q1?Q2)]Q2?2Q2Q1?Q2?50?4
这是垄断企业2的反应函数。 其等利润曲线为：?22 ?400Q2?2Q1Q2?4Q2 在达到均衡时，有：
Q1?Q1??190??50??4??2?Q?80??1?Q2?30
均衡时的价格为：P?400?2?(80?30)?180
两垄断企业的利润分别为：
?1?380?80?2?80?30?2?802?12800?2?400?30?2?80?30?4?302?3600 均衡点可图示为：
190 企业2 企业1的反应线 均衡点 0 95 企业1 200
（2）当垄断企业1为领导者时，企业2视企业1的产量为既定，其反应函数为：
Q2?50?Q1/4
则企业1的问题可简化为：
?Q1???max?400?2?Q1?50???Q1?20Q14?????Q?280/3??1?Q2?80/3
均衡时价格为：P 利润为：?180??280?400?2????1603??3
?39200/3，?2?25600/9
该均衡可用下图表示：