哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文）
LH1 HH1
图2-2层小波变换后的频率分布
2.4 多分辨分析
Mallat使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当。
空间L2?R?的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列?Vj?j?Z，使其具有以下性质：
(1) 单调性（包容性）:
??V2?V1?V0?V?1?V?2??
(2) 逼近性：
???2close??Vf??L?R?,?j??????Vj???f??0?
(3) 伸缩性：
??t??Vj???2t??Vj?1
(4) 平移不变性：
??t??Vj???t?2j?1k?Vj,??k?Z
(5) Riesz基存在性：存在??t??V0，使得???2?jt?k??k?Z构成Vj的Riesz基。 在定义2.4-1中，Vj对应于2?j分辨率，有时候Vj对应于2j分辨率，这时，性质（1）、（3）中子空间的下标要做相应的变化。
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本章小结
小波分析来源于傅里叶分析，它不能代替傅里叶分析，它是傅里叶分析的新发展，二者的互补优势和相辅相成的良好效果已被科研实践所证实，对于长时间内比较稳定的信号，用傅里叶分析比较适合，小波变换由于具有时-频局部化，具有自适应性，在低频段采用高的频率分辨率和低的时间分辨率，在高频段采用低的频率分辨率和高的时间分辨率，非常适合于分析有突变的信号。 本章是小波分析的理论基础。首先从小波定义谈起?继而介绍连续小波变换和其特殊化形式——离散小波变换，然后较为详细地介绍了多分辨分析。
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第3章 经典噪声类型及去噪方法
3.1 经典噪声类型
噪声是造成图像退化的重要因素之一，数字图像的噪声主要来源于数字化过程和传输过程。噪声对图像信号的幅度和相位的影响十分复杂，有些噪声和图像信号相互独立不相关，有些事相关的，噪声本身之间也有可能是相关的。因此要减少图像中的噪声，必须针对具体情况采用不同的方法，以达到满意的处理效果。
设g(x)表示图像。我们将图像分解成所需要的部分，用f(x)表示，噪声部分用n(x)表示。最常用的分解就是加性分解，即
g(x)?f(x)?n(x) (3-1) 例如，高斯噪声就常常被认为是加性结构的。 第二常用的分解就是乘性的，即
g(x)?f(x)?n(x) (3-2) 散斑就是通常被模拟为乘性噪声的一个例子。
下面，将介绍几种经典的噪声模型：
（1） 高斯噪声
高斯噪声是一种具有正态分布，也称为高斯分布，概率密度函数的噪声。加性高斯噪声可能是出现概率最大的一类噪声了。高斯噪声广泛应用于热噪声和某些理想情况，在这些情况下它限制其它噪声的作用。如，光子计数噪声和影片颗粒噪声。
均值为?方差为?2的一元高斯噪声密度函数n为
pn(x)?(2?)X的取值为???x??。
高斯分布最重要的性质应该是中心极限定理，这个定理陈述了大量的独立、小随机变量和的分布函数具有高斯分布的特性。注意，对于单个随机变量不需要它们自己有高斯分布函数，也不需要是同分布。
?12e?(x?u)22?2 (3-3)
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（2） 重尾噪声
很多情况下，中心极限定理的条件都只是差不多满足而不是十分满足和函数中的项可能不是足够的多，或者那些项不是充分的独立，或者其中小部分的项对和提供的数据不均衡。在这些情况下，噪声可能就只能近似为高斯型。这是一种值得注意的情况。甚至当某个密度函数的中心接近高斯型，但其尾部有可能不是。
“重尾”就是对于值很大的x，其密度Pn(x)趋近0的速度比高斯型慢很多。
2例如，对于大值的x，高斯型以exp(?x2?2)的速度趋近于0，而二重指数密度
会以exp(?x?)的速度趋近于0。二重指数密度就是所谓的重尾噪声。
重尾噪声的一个有趣、应该熟悉的例子是在暴风雷电的天气下由微弱广播调幅电台所产生的静电干扰。大多数时间，中心极限定理的条件还是很好的被满足，而噪声也是高斯型。然而，在某些情况下，也存在晴天霹雳。闪电淹没了微电子的作用主宰了和函数。
（3） 椒盐噪声
椒盐噪声指的是广泛存在于多种处理过程，这些过程导致了相同的图像退化：仅仅小部分的像素被噪声污染，但是噪声非常严重。这种噪声影响就像少量黑白点——即盐粒和胡椒粉在图像上。
有椒盐噪声产生的一个例子就是在有噪数字链接中的图像传输。利用多种顺序统计滤波器可以很容易将椒盐噪声消除，特别是中心加权中位值滤波和LUM滤波器。
（4） 均衡和量化噪声
量化噪声产生于连续随机变量被转换成离散型的过程或者离散随机变量转换成另一个更少等级的离散随机变量过程。在图像中，量化噪声常常出现在数据收集过程。可能最初图像是连续的，但是，被处理过后就会变成一幅数字图像。
就像我们应该知道的那样，量化噪声通常都被建模为均衡噪声。一些学者用均衡噪声来模拟其他图像损坏，例如，混色信号。均衡噪声与上面所讨论的重尾噪声的完全相反。其尾部噪声是极其轻的。
较小量化级数图像的普遍特征也许就是所谓的“圆齿状”。密度明显的分级的地方就会丢失。有连续不变颜色的很大区域被清晰的边界分隔。其影响与
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将平滑的斜坡变成一组离散阶梯相似。
（5） 光子计数噪声
基本上，获得图像的设备都是光子计数器。以a表示图像中某些地方（一个像素）的所计的光子数目。那么，a的分布函数常被模拟为参数为?的泊松分布。该噪声也被称为泊松噪声或者播送技术噪声。
P(a?k)?e???kk! (3-4)
其中k=1，2，...
我们就可以清楚泊松分布的一个最重要的性质，即其方差与期望值相等。当?值很大的时候，就能够用到中心极限定理。而此时泊松分布就与均值和方差值都等于?的高斯分布很接近。
(6) 摄影颗粒噪声
摄影颗粒噪声是摄影胶片的特殊产物。它限制照片的扩放效果。以下是一个摄影过程的简单模型：
摄影胶片是由数百万个晶粒组成的。当灯光打在胶片上的时候，有些晶粒吸收光子而有些却没有，那些吸收了光子的微粒改变了样子变成了金属银。在这个变化的过程中，那些没有改变的晶粒就被清除了。
在给定的区域A，假设有L个晶粒，每个晶粒改变的概率为p，p与入射光子的数目成比例。则发生改变的微粒数N就是一个二项分布
kL?k?p(1?p) Pr(N?k)?? (3-5) ?k????L?因为L很大，当p很小但是??Np?EN适中，该概率就可以用泊松分布很好的近似
Pr(N?k)?e???k! (3-6)
且当p更大的时候也可以用高斯分布近似。
(7) CCD成像
大约在过去的20年，CCD（电荷耦合装置）成像已经作为主流的成像形式取代了摄影成像。CCD按光电原理完成工作。入射光子被吸收，引起电子增加至更高的能量级。这些电子完全被颗粒捕获。过后，这些电子被“读出”装置计算出来。
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