第二章 流体力学基础
2.1 如右图所示的装置中，液体在水平管道中流动，截面B与大气相通。试求盆中液体能够被吸上时h的表达式（设sA,sB分别为水平管道A、B出的界面积，
Q为秒流量，C与大气相通，Pc=P0） 根据水平管道中的伯努利方程以及连续性原理
PA?12?vA?PB?212?vB
2sAvA?sBvB?Q，PB?P0
2可以求得截面A处液体的压强PA?P0?2?Q(2?2)
SBSA1111当PA?P0??gh即h?2gQ(2?S2)时，盆中的液体能够被吸上来。
BSA1212.2变截面水平管宽部分面积S1=0.08cm2,窄部分的面积S2=0.04cm2，两部分的压强降落时
25Pa，求管中宽部流体的流动的速度。已知液体的密度为1059.5Kg/m-3
解：应用连续性原理和水平流管的伯努利方程
??22??S1v1?S2v2??v1?0.125m/s ?3?P1?P2?25Pa ??1059.5Kg/m???P1?1?v1?P2?21?v222.3如右图所示，水管的横截面积在粗处为40cm2,细处为10cm2,水的流量为3?10U型管中水银的高度差。
解：1代表粗处，2代表细处 根据连续性原理：QQS1?S1v1?S2v2?3ms3?1求：（1）
水在粗处和细处的流速。（2）两处的压强差。（3）
得
v1??0.75m/s，v2?QS2?3.0m/s
应用水平管道中的伯努利方程知
?P?12?v2?212?v1?4220Pa
2水银柱的高度差?h??P?汞g?422013.6?10?9.83?3.1cm
2.4半径为0.02m的水管以0.01m3s-1的流量输送水，水温为20℃。问（1）水的平均流速是
多少？（2）流动是层流还是湍流？（3）要确定管中流体的最大速度，这些数据是否足够？ 解：平均流速v?该体系的雷诺数RQS??7.96m/s
?vd?25?3.17?10?2600为湍流
(2)v?Q??P4?l(R?r)?vmax?42?P4?lR2?P8?l?R?2Q?vmaxQ?2?R2
?vmax?0.01?23.14?0.022?R2?15.92(m?S?1)2.5由于飞机机翼的关系，在机翼上面的气流速度大于下面的速度，在机翼上下面间形成压强差，因而产生使机翼上升的力。假使空气流过机翼是稳定流动，空气的密度不变，为1.29kg/m,如果机翼下面的气流速度为100m/s，求机翼要得到1000Pa的压强差时，机翼上面的气流速度应为多少？
解：柏努利方程为
P1?123
?v1??gh1?P2?12212?v2??gh2
122由于h1≈h2,则 P1??v?P2?21?v22 → P1?P2?12?(v2?v1)
22 所以 v2?2(P1?P2)??v1?22?10001.29?100?107m/s
22.6自来水管与细管间的压强差为105Pa，主管和细管的横截面积各为0.1m2和0.2m2,问管子中水的流量是多少？
解：1代表主管，2代表细管
运用水平管道中的伯努利方程以及连续性原理
?P?1212?v2?2?v1?10Pa，Q?S1v1?S2v2
42225得
?P?12?(S1S2?1)v1，代如数据得到v1?8.16m/s
3?1流量Q?S1v1?0.816ms
2.7一根长水管，直径为15cm，其中充满水，水管的狭细部分直径为7.5cm，如果在15cm直径部分，水的流速为1.2m/s，求（1）狭细部分水的流速；（2）以m/s为单位表示出水的流量。
解：1代表粗部分，2代表细部分 根据连续性原理有Q?S1v1?S2v23
得到(1)v2?d122d2v1?4.8cms?1
?43?1（2）Q?S1v1?S2v2?2.1?10ms
2.8为了使救火水管中的水流可射达竖直高度为20m，问和水管连接的总水管中需要的计示压强是多少？
运用伯努利方程，设1表示最高点，2表示总水管处，将总水管处作为零势能点，有
P0??gh?P2，代入数据得
P2?2.973?10Pa
52.9在水管的某一点水的流速为1m/s，计示压强为3?10Pa，如果沿水管到另一点，这一
5点比第一点高度降低了20cm，第二点处水管的横截面积为第一点的二分之一，求第二点处的计示压强。
解：设第二点处为零势能点，则运用伯努利方程 P1?1?v1??gh?P2??v2 222125带入数据得P2?3.035?10Pa
2.10在一个横截面积为10cm2的水平管内有水流动，在管的另一端横截面积缩为5cm2。L这两截面处的压强差为300Pa，问一分钟内从管理流出的水是多少立方米。
22解：S1?5cm S2?10cm ?P?300Pa
运用伯努利方程和连续性原理
?P?12?v2?212?v1
2Q?S1v1?S2v2
?S2?21??P???1?v1得 ?2?S22??1?43?1代入数据得v1?0.775m/s，Q?3.875?10ms
3?1一分钟的流量是q?Q?60?0.0232ms
2.11从一水平管中排水的流量是0.004m3/s。管的横截面为0.01m2处的绝对压强为1.2×10Pa。问管的截面积缩为多少时，才能使压强减少为1.0×10Pa?
解：对于水平管，其柏努利方程为
P1?125
5
?v1?P2?212?v2
2QQv?,v?12因为 s1s2
所以 v?Qv2222(P1?P2)??v12?Q2(P1?P2)??2(P1?P2)???Q22S1
S2??0.0042?0.2?101.0?103
35Q22?2
S1?0.0040.0122?6.31?10?42m
2.12一个顶部开口的圆筒型容器，高为20cm，直径为10cm。在圆筒的底部中心开一横截面积为1.0cm的小圆孔，水从圆筒顶部以140cm/s的流量有水管注入圆筒，问圆筒中的水面可以升到多大的高度？
解：水上升到最大高度时应为小孔排水量与入水来量等时，所以小孔的流速为
?1?1.4m?s v?s??41.0?10Q140?10?6小孔流速为v?v22gh，所以 1.42 h?2g?2?9.8?0.1m
2.13一个四壁竖直的大开口水槽，其中盛水，水深为H。在槽的一侧水下深h处开一小孔。（1）射出的水流到地面时距槽底边的距离是多少？（2）在槽壁上多高处再开一小孔，能使射出的水流具有相同的射程？（3）要想得到最大的射程，小孔要开在水面以下多深处，最大射程为多少？
解：水从小孔中流出后呈现平抛运动，水流处小孔后获得的水平速度为
v?2gh（1）选区任何的一个小水质元，该质元流出小孔后作平抛运动，根据自由落体原理，水质元在空中的运动时间
t?2(H?h)
g射出的水流到地面时距槽底边的距离 s?vt?4h(H?h)
（2）设在槽壁上距离水面h?处再开一小孔，能使射出的水流具有相同的射程，则
s?vt?v?t??h??Hh??Hh?h?0
22得h??H?h或h??h（舍去） （3）由（1）知
当h?H2时，s可以取到最大值，为s=H
2.14一圆筒中的水高为H，底面积为S1，筒的底部有一面积为S2的小孔。问筒中的水全部流尽需要多长时间？
解：在水桶中距离出示水面深度为h的地方去厚度为dh的一层水体积元，这层水的流速可以看成是相等的。则该体积元的水流尽需要的时间为dt，根据质量守恒原理得
dt?2gh?S2?S1?dh
H等式两边积分
t?0dt??S0S12?dh2gh
筒中的水全部流尽需要的时间为为
t?S1S22Hg
52.15贮有水的封闭大水箱，箱的上部引入气压为8.0?10Pa的压缩空气。箱的侧壁上距水
面5.0m处有一小孔，求水从此孔流出的速率？ 解：对水箱的上部和小孔处运用伯努利方程 P1??gh?P0?1?v 2255代入P1?8.0?10Pa， P0?1.0?10Pa， h?5m等数据得
v?38.7m/s
2.16在比多管中，用水作为压强计的液体，装在飞机上，用以测量空气的流速。如果水柱的最大高度差为0.1m，问能测出空气的最大流速是多少？空气的密度是1.3 Kg/m3。
解：用比多管测量气体的流速公式为 v?2gh??其中??是液体的密度，??是气体的密度
vmax?2gh????2?9.8?0.1?1.0?101.33?38.83m/s
5
2.17自来水主管与范丘里流量计咽喉管间的压强差为10Pa，主管和细管的横截面积各为0.1 22
m和0.05m，问管子中水的流量是多少？ 解运用伯努利方程和连续性原理
P1?Qs112?v1?P2?Qs2得
212?v2
2
v1?,v2?