费马猜想n = 4时“二次幂等式法”证明
费马猜想n = 4的证明，可将 x4 + y4 = z4转化为：
(x2 )2 + (y2 )2 = (z2 )2……………………………………………（1）
不定方程x2 + y2 = z2不为倍数的正整数解，x、y不能同时是偶数；如果x、y同时是奇数则z为偶数，设x = 2u – 1、y = 2v – 1、z = 2r得：
( 2u – 1 )2 + ( 2v – 1 )2 = ( 2r )2 2（u2 – u + v2 – v）+ 1 = 2r2
等式左边是奇数，右边是偶数，不能成立。所以x、y必一为奇数一为偶数，z为奇数。令x为偶数，设正整数a、b且（a ，b）= 1，有公式为：
x = 2ab y = a2 - b2 z = a2 + b2
这就是含概所有基本正整数组解的“勾股弦数公式”。
根据“勾股弦数公式”，令（1）式x2 = 2ab得方程组：
b2 + y2 = a2 ……………………………………………………………（2） b2 + a2 = z2 ……………………………………………………………（3）
由（2）式、（3）式判定b为偶数，为满足有正整数解“b”可以进行不同组的因数分解：b = 2c1d1 = 2c2d2，c1d1 = c2d2，（c1 ，d1）= 1，（c2 ，d2）= 1，则：
由（2）得：y = c12 – d12 a = c12 + d12………………………………（4） 由（3）得：a = c22 – d22 z = c22 + d22………………………………（5）
于是
a = c12 + d12 = c22 – d22
c22 = c12 + d12 + d22………………………………………………………（6）
（6）式的基本正整数解公式为：
(2t12 + t22 )2 = (2t1t2 )2 + (2t1 2 )2 + (t2 2 )2
其中（2t1 ，t2）= 1，c2必是奇数；又（5）式判断d2为偶数。
当d2 = 2t1t2则有：
（2t12 + t22）（2t1t2）=（2t1 2）t2 2 2t12 + t22 = t1t2
因为（2t1 ，t2）= 1，所以
2t12 + t22 ≠ t1t2
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或d2 = 2t12则同理有：
（2t12 + t22）（2t1 2）=（2t1t2）t2 2 （2t12 + t22）t1 ≠ t2 3
因而满足（6）式的基本正整数解不能使（4）式、（5）式成立，“b”不能进行2c1d1= 2c2d2不同组因数的分解。
如果c1 = c2、d1 = d2，由（6）式得：
d12 + d22 = 0
只能使d1 = d2 = 0，b = 0；则x = 0，y = z，（1）式没有x、y、z全不为0的正整数解。 所以x4 + y4 = z4没有正整数解。
这一证明利用了“c22 = c12 + d12 + d22”关键的二次幂等式公式，因而称为“二次幂等式法”。
附 讨论 ：
根据同一律在同一正确思维过程中，每一思想与自身同一：1.概念必须保持同一；2.论题必须保持同一；3.保持语境自身的同一。如果从“语境”同一，那么一个 “b” 只能作一种因数分解：
由（2）式、（3）式判定b为偶数，根据同一律“保持语境自身的同一”原则为满足有正整数解b只可进行唯一分解：b = 2cd，（c ，d）= 1，则：
由（2）式得：y = c2 – d2 a = c2 + d2…………………………………………（4） 由（3）式得：a = c2 – d2 z = c2 + d2…………………………………………（5） 比较（4）式、（5）式： y = a，a = z 于是
y = z
代入（1）式，使 x = 0。反之x = 0时：a = 0、b ≠ 0，由（2）式不成立；a ≠ 0、b = 0，y = z = a；a = 0、b = 0，y = z = 0。所以（1）式没有x、y、z 均不为0的正整数解。
这样证明太简单了，是否正确还请广大读者赐教。
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论费马猜想“不定方程”与
“一般方程”的双重性质
（ 2008 年 ）
【提要】 费马猜想n＞2时zn = xn + yn 无正整数解是一个不定方程，深入研究发现它从分解“约数方程”在因式关系上又同于一般方程，因而这一方程具有“不定方程”与“一般方程”的双重性质。
【关键词】 费马猜想 不定方程 因式关系
费马猜想：即当n＞2时，zn = xn + yn 无正整数解。
对于zn = xn + yn不可质疑地是一个不定方程；但是，深入研究之后发现它是一个具有“一般方程”性质的不定方程。从形式上未知数存在F（z，x，y）= 0不同组解，因而它是多元不定方程；从“约数方程”在“因式关系”上，它不同于一些“不定方程”的约数因式分解，且同于“一般方程”确定的因式关系。如果“ xn + yn ”为一个代数值 “rn” 则有F（z）= zn – rn = 0或F（z）= (z – r) n = 0，是特殊F（z）= 0的一般方程。为了明确费马猜想方程的特殊性质，必须对相关的不定方程与一般方程进行比较分析。
1.“权元不定方程”约数解法的因式关系
确定“权元不定方程”的定义：有多个未知数的不定方程，至少两个或两个以上的未知数共同决定方程的解，性质是分解的约数方程均为原方程该条件的唯一确定因式。
例如：求x2y + 3xy – 5x – 20 = 0的正整数解。
根据解不定方程“约数分析法” ：把不定方程进行因式分解，然后通过对约数进行分析来求出方程的解， 将方程
x2y + 3xy – 5x – 20 = 0…………………………………………… （1.1） （x + 3）（xy – 5）= 1 × 5，（-1）（-5）
分解约数得到4组“约数”方程组：
x + 3 = 1，x + 3 = 5，x + 3 = -1，x + 3 = - 5 xy – 5 = 5，xy – 5 = 1，xy – 5 = -5，xy – 5 = -1
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解这4组方程，只有第2组符合题义，解为：
x – 2 = 0 ……………………………………………………………（1.2） xy – 6 = 0…………………………………… …………………… （1.3） 于是有必要明确相关定义，把约数得到直接能求解或比较简单的方程称为“约数方程”，如（1.2）式；另一个被求解的方程称为“余约数方程”，如（1.3）式。（1.2）式、（1.3）式必是（1.1）式的因式。由除式：
xy - 6 x - 2︱x2y + 3xy - 5x - 20 x2y - 2xy
5xy - 5x - 20 - 6x +1 2 5xy+x-32 = 0
但是，又存在另一种结果；
xy + 5y - 5
x - 2︱x2y + 3xy - 5x - 20
x2y - 2xy 5xy
5xy -10y 10y -5x - 20 - 5x +10
10y - 30 = 0
如果xy + 5y – 5也是原方程的因式，则xy + 5y – 5 = 0必是原方程的解：
y（x + 5）= 5
经检验这个方程所有的解不是原方程的解，所以xy + 5y – 5不是原方程的因式。因而（x – 2）（xy – 6）= 0是x2y + 3xy – 5x – 20 = 0符合解条件的唯一分解式。
又由（1.2）式、（1.3）式得：
x = 2 y = 3
只有x = 2不能决定原方程的解，还必有y = 3才能决定原方程的解，也就是由x = 2 与y = 3共同决定原方程的解，称x、y为不定方程的权元。则有
F（x ，y）= x2y + 3xy – 5x – 20 =（x – 2）（xy – 6）= 0
以F表示原不定方程，以F1、F2表示两个约数方程，则“权元不定方程”的一般表达式：
F（x ，y，…，z）= F1（x ，y，…，z）* F2（x ，y，…，z）= 0
F1（x ，y，…，z）= 0
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F2（x ，y，…，z）= 0
“权元不定方程”的“约数方程”为原方程的因式，“余约数方程”也是原方程的因式，并且两个约数方程同时成立的解是原方程的组解。
2.“一般方程”约数解法的因式关系
一般方程标准形式：F（x）= a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0。根据高次方程定理：整系数一元n次方程，每一个整数根都是常数项的约数，所以利用约数分析法可以解一些特殊的一元高次方程。
例如：求x3 – 3x2 + x – 3 = 0的整数解。
x3 – 3x2 + x – 3 = 0…………………………………………………（2.1） x（x2– 3x + 1）= 3 = 1×3，（-1）（-3）
确定符合题义的原方程解，两个“约数方程”及“余约数方程”为
x = 3…………………………………………………………………（2.2） x2– 3x = 0……………………………………………………………（2.3）
但是，（2.2）式是（2.1）式的因式，（2.3）式却不是（2.1）式的因式。（2.1）式的另一个余因式为：
x2 + 1 x - 3︱x3 -3x2 + x - 3 x3 - 3x2 x -3 x -3 0
所以x3 – 3x2 + x – 3 =（x – 3）（x2 + 1）= 0。（2.3）式“余约数方程”的解：
x（x – 3）= 0
其中一个解x – 3 = 0与“约数方程”同解，另一个解x = 0不是原方程的解，为增根。“一般方程”的“约数方程”必为原方程的因式，“余约数方程”不是原方程的因式。
3.“主元不定方程”约数解法的因式关系
确定“主元不定方程”的定义：有多个未知数的不定方程，只一个未知数为主要决定方程的解，其它未知数从属或相当于已知的代数定值，性质是分解的约数方程不均为原方程该条件的确定因式。
例如：求方程x5 – x2 = y2p的质数解。 经过分析y = x，则有
x3 – 1 – p = 0……………………………………… ………………（3.1）
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