正弦定理
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A.6 B.2 C.3 D．26
abasinB
解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝6.
sinAsinBsinA2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43 C．46 D.
3
asinB
解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝46.
sinA
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：选C.由正弦定理
abbsinA2
＝得：sinB＝＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°. sinAsinBa2
B．6∶5∶1 D．不确定
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6 C．6∶1∶5
解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( ) 11
A．1 B. C．2 D. 24bc2×sin 30°
解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.
sinBsinCsin45°
cos Ab
6．在△ABC中，若＝，则△ABC是( )
cos Ba
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
bsin Bcos Asin B
解析：选D.∵＝，∴＝，
asin Acos Bsin AsinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
π
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝. 2
7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
A.
333
B. C.或3 242
D.33
或 42
ABAC3
解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，
sinCsinB2∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°. 1
再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．
2
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
A.6 B．2 C.3 D.2
62
解析：选D.由正弦定理得＝，
sin120°sinC
1
∴sinC＝. 又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，
2
1
△ABC为等腰三角形，a＝c＝2.
π
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝，则A＝________.
3
aca·sinC1
解析：由正弦定理得：＝， 所以sinA＝＝. sinAsinCc2πππ
又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝. 答案：
36643
10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
3
14×2abbsinA33
解析：由正弦定理得＝ ?sinB＝＝＝. 答案：
sinAsinBa2432
311．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，
ab12×sin30°由＝得，a＝＝43， ∴a＋c＝83. 答案：83 sinAsinBsin120°12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB， 代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，
所以sinA＝2sinB·cosC， 即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC， 化简，整理，得sin(B－C)＝0. ∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，
∴－180°＜B－C＜180°， ∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形
a＋b＋c
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则＝________，c＝________.
sinA＋sinB＋sinC
a＋b＋ca6311
解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴×12×sin60°×c＝183，
22sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°∴c＝6. 答案：12 6
a－2b＋c
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
sin A－2sin B＋sin C
解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
a1
∴2R＝＝＝2，
sinAsin30°又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
a－2b＋c2RA－2sinB＋sin C
＝＝2R＝2. 答案：2
sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C
1
15．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.
3
∴
221
解析：依题意，sinC＝，S△ABC＝absinC＝43， 解得b＝23. 答案：23
3216．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解． 1
解析：∵bsinC＝43×＝23且c＝2，
2
∴c 2 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？ 1 解：在△ABC中，BC＝40×＝20， 2 ∠ABC＝140°－110°＝30°， ∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得 BC·sin∠ABC20sin30°AC＝ ＝＝102(km)． sinAsin45°即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km. CC1A 18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sincos＝，sin Bsin C＝cos2，求A、 2242B及b、c. CC11 解：由sincos＝，得sinC＝， 2242 π5π 又C∈(0，π)，所以C＝或C＝. 66A1 由sin Bsin C＝cos2，得 sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]， 22即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)， 即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1， π5π2π 即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)， A＝π－(B＋C)＝. 663 12abcsin B 由正弦定理＝＝，得 b＝c＝a＝23×＝2. sin Asin Bsin Csin A3 22ππ 故A＝，B＝，b＝c＝2. 36 19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A310 ＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值． 510 解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝310∴cos B＝1－sin2B＝. 10 3525 又cos 2A＝1－2sin2A＝，∴sinA＝，cos A＝， 555 253105102 ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝×－×＝. 5105102 π 又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝. 4 3π2 (2)由(1)知，C＝，∴sin C＝. 42abc 由正弦定理：＝＝得 5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b. sin Asin Bsin C 3 10， 10 ∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1. ∴a＝2，c＝5. ．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长． 解：由S＝12absin C得，153＝1 2×603×sin C， ∴sin C＝1 2 ，∴∠C＝30°或150°. 又sin B＝sin C，故∠B＝∠C. 当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°. 又∵ab＝603，asin A＝b sin B，∴b＝215. 当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)． 故边b的长为215. 余弦定理 源网 1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝1 3，那么AC等于( ) A．6 B．26 C．36 D．46 解析：选A.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB ＝ 42＋62－2×4×6×13 ＝6. 2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( ) A.3 B.2 C.5 D．2 解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c＝2. 3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．150° 解析：选D.cos∠A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc32bc＝－2， ∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°. 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为(A.π6 B.ππ5ππ2π3 C.6或6 D.3或3 解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，联想到余弦定理，代入得 cosB＝a2＋c2－b23132ac＝2·tanB＝2·cosBsinB. 显然∠B≠π3π2，∴sinB＝2.∴∠B＝2π 3或3 . 5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于( ) A．a B．b C．c D．以上均不对 解析：选C.a·a2＋c2－b2b2＋c2－a222ac＋b·2bc＝c2 2c ＝c. 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 4 ) 20 解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2. 设增加的长度为m， 则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m， 又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形． →→→→ 7．已知锐角三角形ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值为( ) A．2 C．4 B．－2 D．－4 1→→1 解析：选A.S△ABC＝3＝|AB|·|AC|·sinA ＝×4×1×sinA， 223 ，又∵△ABC为锐角三角形， 211→→ ∴cosA＝， ∴AB·AC＝4×1×＝2. 22∴sinA＝ 8．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A.3 C.3或23 B．23 D．2 解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－33a， ∴a2－33a＋6＝0，解得a＝3或23. 9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． π 解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝. 3在△ABD中， AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB ＝ 答案：3 10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a＝(3－1)k，b＝(3＋1)k，c＝10k(k＞0)， a2＋b2－c21∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得 cosC＝＝－， 2ab2又C∈(0°，180°)，∴C＝120°. 11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________． 13解析：S＝absinC，sinC＝，∴C＝60°或120°. 221 ∴cosC＝±，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC， 2∴c2＝21或61，∴c＝21或61. 答案：21或61 12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________. 解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k， a2＋c2－b2k2＋k2－k211 cos B＝＝＝， 2ac2×2k×4k16 71 同理可得：cos A＝，cos C＝－， 84 ∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4) 5 1 1＋4－2×1×2×＝3. 2