北京市东城区2015-2016学年下学期高一期末考试
数学试卷
本试卷共100分，考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 不等式x2?2x?3的解集是 A. ?x|?1?x?3? C. x|x??3或x?1
B. ?x|?3?x?1? D. x|x??1或x?3
????2. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为
A.
21 B. 32C.
1 4D.
1 63. 已知a?b?0，则
A. a2?ab B. ab?b2 C. a2?b2
D. a2?b2
4. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 A. y??10x?200 C. y??10x?200
→→?B. y?10x?200 D. y?10x?200
→???→1→5. 已知非零向量OA, OB不共线，且BM=BA，则向量OM=
31→2→2→1→A. OA+OB B. OA+OB
33331→2→1→4→C. OA-OB D. OA-OB
33336. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出的S的值为
A. -1 B. 0 C. 1
D. 3
7. 已知?an?是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3,a4,a8成等比数列，则 A. a1d?0,dS3?0 C. a1d?0,dS3?0
B. a1d?0,dS3?0 D. a1d?0,dS3?0
8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为
A.
第二部分 （非选择题 共76分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
18尺 B. 尺 215C.
16尺 29D.
16尺 31
9. 某学院A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院C专业应抽取______名学生.
10. 如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒豆子，其中有1000粒豆子落在正方形中，180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________.
11. 若非零向量a，b满足a?b,(2a?b)?b?0，则a与b的夹角为_________.
12. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC?ccosB?asinA，则?A的度数为_______________. 13. 已知x?0,y?0，且满足
xy??1，则xy的最大值为___________. 3414. 已知平面向量a，b和c在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a的分解有如下四个命题： ①给定向量b，总存在向量c，使a=b+c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a=λb+μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量C和实数λ，使a=λb+μc； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a=λb+μc. 则所有正确的命题序号是________.
三、解答题：本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本题满分8分）
在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2），B（3,2），D（-3，-1），以线段AB，AD为邻边作平行四边形ABCD. 求
（I）点C的坐标；
（II）平行四边形ABCD的面积. 16. （本题满分9分）
已知数列?an?是等比数列，满足a1?3,a4?24，数列?bn?满足b1?4,b4?22，且?bn?an?是等差数列.
（I）求数列?an?和?bn?的通项公式； （II）求数列?bn?的前n项和。
17.（本题满分9分）
△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA?3acosB. （I）求角B的大小；
（II）若b?3,sinC?2sinA，求a，c的长. 18. （本题满分9分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取8天的数据如下：
甲公司某员工A：32 33 33 35 36 39 33 41 乙公司某员工B：42 36 36 34 37 44 42 36
（I）根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图，并通过茎叶图，对员工A和员工B投递快递件数作比较，写出一个统计结论：
统计结论：__________________________________________________________
（II）请根据甲公司员工A和乙公司员工B分别随机抽取的8天投递快递件数，试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率。 19.（本题满分9分）
已知关于x的不等式(ax?1)(x?2)?2的解集为A，且3?A. （I）求实数a的取值范围； （II）求集合A. 20.（本体满分8分）
对于项数为m的有穷数列?an?，记bk?max?a1,a2,?,ak?(k?1,2,?,m)，即bk为
a1,a2,?,ak中的最大值，并称数列?bk?是?an?的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（I）若各项均为正整数的数列?an?的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有符合条件的数列?an?； （II）设
m=100，若an?|2n?4|，
?bn?是
?an?的控制数列，求
(b1?a1)?(b2?a2)???(b100?a100)的值；
（III）设?bn?是?an?的控制数列，满足ak?bm?k?1?C（C为常数，k?1,2,?,m）. 求证：bk?ak(k?1,2,?,m).
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 题号 答案 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 题号 答案 三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本题满分8分）
9 40 10 0.18 11 120° 12 90° 13 3 14 ①② 1 B 2 D 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 C ????????解：（I）AB?(4,4),AD?(?2,1)， ????????????AC?AB?AD?(2,5)，点C的坐标为（1,3）.??????????4分
????????（II）AB?42,AD?5.
????????????????AB?AD10. cos?AB,AD????????????10AB?AD????????310. sin?AB,AD??10????????????????SABCD?AB?AD?sinAB,AD??12.????????????8分
16. （本题满分9分）
解：（I）设等比数列?an?的公比为q，由题意得q3?a424??8，解得q?2. a13所以an?a1qn?1?3?2n?1(n?1,2,?).????????????3分 设等差数列?bn?an?的公差为d，
所以b4?a4?(b1?a1)?3d.即22?24?(4?3)?3d.解得d??1.??????5分 所以bn?an?(b1?a1)?(n?1)d?1?(n?1)?2?n.
从而bn?2?n?3?2n?1(n?1,2,?).????????????6分 （II）由（I）知bn?2?n?3?2n?1(n?1,2,?). 数列?2?n?的前n项和为
n(3?n)，数列?3?2n?1?的前n项和为 2