F，D，M?四点共圆，如图24-7．
AOBMC图24-7FDE
从而，M?为完全四边形的密克尔点，故M?与M重合． 设
O的半径为R，则CM?CE?CD?CF??CO?R??CO?R?=CO2?R2．同理，
EM?EC?EO2?R2．
22于是，CO2-EO2=EC?CM?EM?=?CM?EM，由定差幂线定-EM??CM?EM?=CM理，即知OM?CE．
（2）如图24-8，设△BCD的外接圆交直线AD于M?，则AD?AM??AB?AC?AF?AE，即知E，F，D，M?四点共圆．
ABFDM'MEN图24-8OC
从而，M?为完全四边形的密克尔点，故M?与M重合．
联结CO，CM，EO，EM，设N为AM延长线上一点，则
?CME=?CMN??NME=?CBE??CFE=2?CBE=?COE，即知C，E，M，O四点共圆．
1?OMN??OMC??CMN??OEC??COE?90?．
2故OM?AD，且M为过点D的O的弦的中点．
由图24-7，我们又可得如下结论（类似地也可由图24-8得到有关结论）．
结论8若点D为△ACE的三边CE，EA，AC上的点M，F，B关于该三角形的密克尔点，设O为密克圆ABF的圆心，则OM?CE．
下面，介绍定理4的两个推论，这也是定理2的应用实例．
推论1在完全四边形ABCDEF中，凸四边形ABDF内接于O，AD与BF交于点G，则CDB，CFA，EFD，EAB，OAD，OBF六圆共点；CFB，CDA，GAB，
GDF，OBD，OFA六圆共点；EFB，EAD，GBD，GFA，OAB，ODF六圆共点．
证明如图24-9，设M为完全四边形ABCDEF的密克尔点，则由定理4（1），知M在CE上，且OM?CE．
C，于是，有?BMO=90???BMC?90???BDC M，D，B及M，E，F，D分别四点共圆，?90???180???BDF???BDF?90? 11????180???BOF??90??90???BOF
22????BFO．
AOBLGDCM图24-9NFE
从而，知点M在OBF上． 同理，知点M在OAD上．
由密克尔点的性质，知CDB，CFA，EFD，EAB四圆共点于M．故以上六圆共点M． 同理，设N为完全四边形CDFGAB的密克尔点，则CFB，CDA，GAB，GDF，OBD，OFA六圆共点于N．
设L为完全四边形EFAGBD的密克尔点，则EFB，EAD，GBD，GFA，OAB，ODF六圆共点于L．
推论2在完全四边形ABCDEF中，凸四边形ABDF内接于O，AD与BF交于点G，CDB与CFA，CDA与CFB，OBD与OFA，ODA与OBF，EAB与EFD，EAD与EFB，OAB与ODF，GAB与GDF，GBD与GFA共九对圆的连心线分别记为l1，l2，l3，…，l9，则l1，l2，l3，l4，OC五线共点于OC的中点；l4，l5，l6，l7，OE五线共点于OE的中点；l3，l7，l8，l9，OG五线共点于OG的中点．
证明如图24-10，设M，L，N分别为完全四边形ABC?DEF，EFAGBD，CDFGAB的密克尔点，则OM?CE于M，OL?EG于L，ON?CG于N．