其实对gradient domain进行修改而获得逼真的编辑效果由来已久，最早见于1983年Burt-Adelson的Laplacian Pyramid [6]图像融合(这里有个简洁的中文介绍)，这是题外话。在gradient domain进行图像编辑的pipeline一般如下(图例修改自ICCV 2007 Course -- Gradient Domain Manipulation Techniques，顺便赞一个，nice ppt!)：
其中第一步的gradient processing根据不同的需求有具体的操作，比如HDR Compression里是将较大的gradient value进行削弱，而上面的图像拼合例子(Seamless Clone)则是将源图像的gradient拷贝到目标区域。而其中第二步中由gradient重建出新图像并非那么容易，因为经过编辑后的gradient一般是不可积分的，这时Quadratic Optimization粉墨登场。
假设待求图像为I，修改后的已知gradient是G，则通过Least Squares Minimization可以将问题formulate成如下(使得待求图像I的gradient在L2 norm下尽量接近G)：
注意其中的约束条件，比如，在图像拼合例子中，非编辑区域的像素是已知的，在求解编辑区域的像素时，边界上的像素值是约束条件。上面的formulation是假设图像I是定义在x-y连续空间的函数，所以其实上述目标函数是关于I的functional(泛函，也就是“函数的函数”)。使用calculus of variation(变分法)中的Euler-Lagrange Equation (one unknown function, two variables)可以将其转化为一个非常经典的偏微分方程形式，这就是Poisson Equation：
注意其中G是已知的，I是未知的，Δ是Laplacian operator，div是divergence operator。当已知边界像素值时，该偏微分方程具有第一类边界条件(Dirichlet boundary condition)，比如图像拼合；当处理整个图像时，该偏微分方程具有第二类边界条件(Neumann boundary condition)，即已知边界导数值(设为0)，比如HDR Compression。
上面的formulation是在x-y连续空间(像素坐标是连续的)，而用于图像处理时，一般需要将其离散化(因为事实上像素坐标(x,y)是整数)，上面相应的偏微分形式可以使用有限差分(finite difference)形式近似代替。具体来讲，离散化的discrete Laplacian operator如下，
而divergence operator中的一阶偏导可以用前向或者后向差分近似(由于G本身是由gradient得来，一般如果之前计算gradient使用前向差分，那么这里计算div就使用后向差分，这样使得两次差分的结果等价于一次二阶中心差分，具体参考[1])，比如这里的divG可以由以下后向差分近似，
于是，整个Poisson Equation离散化之后，每个pixel都有一个线性方程，假设图像有N个pixel，那么整个Poisson Equation就成了一个包含N个方程的大型方程组。如果将这个大型方程组写成矩阵形式(假设将待求图像I拉成一个长的vector，用x表示，将已知的divG也拉成一个长的vector，用b表示)，离散化的Poisson Equation变成了经典的Ax=b形式。以5×5的图像为例，假设待求图像I为如下形式(每个pixel的值都是未知)：
将其拉成列向量x(按列展开)，则整个Discrete Poisson Equation (with Neumann boundary condition)写成Ax=b形式即，
该矩阵A可以直接从Laplacian operator得来，一般称为Laplacian Matrix(其实如果将图像看成graph，该矩阵即为graph theory中的Laplacian Matrix)。注意，对角线上值为2和3的元素是对应在图像边界上的pixel(因为其discrete Laplacian operator无法完整展开，包含了一些不存在的neighboring pixel)，如果将边界条件改为Dirichlet boundary condition并且未知区域周边的pixle都是已知的话，对角线上的元素就全为4，比如下面的例子。假设待求图像I为如下形式(未知pixel的周边pixel是已知)：
则未知向量x包含9个元素，整个Discrete Poisson Equation (with Dirichlet boundary condition)变成以下形式，
注意等式右侧包含了边界已知pixel的值。这里的Laplacian Matrix较为规整，主要是因为所有的未知pixel处的discrete Laplacian operator可以完整的展开。
总之，上面的discrete Poisson Equation都可以归结为求解一个大型线性方程组，其中的Laplacian Matrix具有以下特点： 1. 对角线元素为non-negative； 2. 非对角线元素为non-positive； 3. 对称(symmetric)；
4. 正定或半正定(positive semidefinite)； 5. 属于分块对角阵。
下面的solver小节再讨论如何求解这样的线性方程组。另外，其实如果直接对上面Least Squares Minimization的目标函数进行离散化，也可以得到相同的方程组(省去了应用Euler-Lagrange Equation的步骤)，参见文章[2]的推导过程。