成立，推出命题在(0,(k+1)a)上成立，这样在(0,+∞)上命题都成立，类似的方法证明命题在（-∞，0］成立即可。
例5：运用数学归纳法证明：2＞m，m∈R 证明：①当m≤0时显然成立；
②当m∈[0，1）时，2≥1，不等式成立； ③当m∈[1，2）时，2≥2，不等式成立；
④假设当m=k是命题成立，即2＞k, 那么当m=k+1时，2＞2k≥k+1. 因此，原不等式成立。
前面我们所讨论的数集都是对加法或减法构成递推数集，实际上任何一个集合（不一定是数集）通过某种运算，能使该集合的各个元素之间具有递推性，原则上也可以利用数学归纳法原理证明,例如双等差数集与集合M={2,2,2,…,2,…}。因此数论中有些猜想至今没有证明，或许可以构造一种新型运算，使集合中的元素具有递推性，从而得到解决。通过推广数学归纳法还可将某些集合上的命题拓广.下面列出一般集合上的第一数学归纳法原理，其它形式略。
第一数学归纳法原理：设命题P是关于集合M的命题。通过构造某种运算*，使得集合M={a1,a2,…,an,……}中的元素具有如下关系：a1*q=a2,a2*q=a3,…,an-1*q=an,…….若P(a1)成立,在假定P(ak)成立的条件下,可以推出成立.那么命题P对于集合M中的任何元素都成立。
注:1、 运算*可以是代数运算,也可以是超越运算,甚至于可以是一般的抽象运算. 2 、元素可以属于集合M,也可以不属于M,譬如正整数集中1∈N*,奇数集中2不属于奇数集.
3、当上述方法还是无法证明时 ,可以考虑数学归纳法的其它形式,也可以分成几个集合,定义不同运算分别进行归纳,也可以各种形式混合使用.另外也可以去掉有限个元素后,使其具有递推性,但去掉的元素应单独证明.
4 、有些集合需要多步证明,例如有理数集可分别归纳分子与分母,复数集可分别归纳实部与虚部，或者分别归纳模与辐角.下面列出有理数集上第一数学归纳法原理,其它形式及证明从略.
第一数学归纳法原理:设有一个关于有理数集Q的命题P(Q),①若存在Z0∈Z,命题 P(Z0)成立;②若P(k)成立(k∈Z),则P(k')与P('k)均成立;③任取m∈Z,若P(m/n)成立(n∈N),则 p(m/(n+1))成立,那么对于任意有理数Q,命题P(Q)均成立.
0
1
2
n
k
k+1
mmm
对于数学归纳法的深入研究，重在运用它去解决或证明一些问题，在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用。
参考文献:1、《应用近世代数》 胡冠章 清华大学出版社 , 1993年版, 25页—27页。 2、《数学猜想》 第一卷，数学中的归纳与类比，[美] G·波利亚著 ， 李心灿、
王日爽、李志尧译，科学出版社，1987年8月版 ，118页—132页