齿轮弯曲应力有限元分析
曲应力作为齿根应力。如图3-1所示，垂直于齿面的载荷作用线和齿形中心线的交点A是抛物线的顶点，连接齿形的内切抛物线和齿根过渡曲线的切点的断面BC即是危险断面。当弯曲载荷作用在抛物线梁的顶端时，该梁断面上无论那个位置的最大应力都是相等的，因此，可以把抛物线在齿形的内切位置作为危险断面，而在这个危险断面的位置上
FS考虑弯曲应力。在图3-1中，如齿面法向载荷为n；危险断面齿厚为r；从内切抛物线
σ梁顶端到危险断面的高度为hr；齿宽为b，模数为m时，则齿根应力F如下式：
σF=FNhfcosω2SFb6?FN6(hf/m)cosωFN?YBV2bm(SF/m)bm (2-1)
YBV?6(hf/m)cosω(SF/m)2
式中：
o30 图3-1 路易斯法 图3-2 切线法
3.1.2 齿形系数的计算方法
在计算渐开线齿轮的齿根应力时，不能像计算简单的悬臂梁的弯曲应力那样给定梁的参数。目前计算方法有霍法(H．Hofer)提出的30o切线法[7]。该法如图3-2所示，连接与齿形中心线成30o的直线在齿根圆角处的切点的平面作为危险断面，取载荷作用线和齿形中心线的交点与危险断面的距离作为梁的高度，利用内切抛物线法的齿形系数计算式计算系数值。
有限元法与经典的解析法不同。在经典的解析法中，通常都是从研究连续体中微元体的性质着手，在分析中允许微元体无限多而它的大小趋近于零，从而得到描述弹性体性质的偏微分方程，求解微分方程可以得到一个解析解。这种解是一个数学表达式，它给出物体内每一点上所要求的未知量的值。然而，对于大多数工程实际问题，由于物体
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基于ANSYS的齿轮模态分析
的几何形状的不规则，材料的非线性或不均匀等原因，要得到问题的解析解，往往十分困难。有限元法则从研究有限大小的单元力学特性着手，最后得到一组以节点位移为未知量的代数方程组。应用现成的计算方法，总是可以得到在节点处需要求解的未知量的近似值。
3.2 齿轮弯曲应力的有限元分析
大小齿轮材料相同，接触应力在两相互啮合齿轮的齿面上大小相同，而对于没对接触的齿来说，小齿轮的齿根应力均大于大齿轮的齿根应力，所以在进行齿根弯曲强度校核的时候只需对小齿轮进行校核即可。
齿轮弯曲应力的限元分析的步骤为：1选择材料及网格单元划分； 2 约束条件和施加载荷； 3计算求解及后处理[8]。 3.2.1选择材料及网格单元划分
首先打开软件ANSYS11.0，改文件名为“Bending stress”，并将标题名改为“Bending Anasys of a gear”；
启动PRO/E，打开gear1，.将文件保存IGES格式文件副本； 将gear1.igs导入到ANSYS11.0中；
根据计算对象的具体情况(边界变化情况、应力变化情况等)、计算的精度要求、计算机容量大小、计算的经济性，以及是否有合适的程序等等因素进行全面分析比较，选择合适的单元形式。为了提高计算精度并减少计算量，选择单元类型为8节点四面体单元So1id45；
定义材料的弹性模量E，泊松比υ，密度ρ。其中弹性模量E=206GPa ，泊松比υ= 0.28，密度ρ=7.8×103kg/cm3。
对齿轮进行网格单元划分。选择自由网格划分方式。网格划分结果见图3-3。
图3-3 列表显示节点数和单元数
3.2.2约束条件和施加载荷
施加边界约束条件是有限元分析过程中的重要一环。边界条件是根据物理模型的实际工况在有限元分析模型边界节点上施加的必要约束。边界约束条件的准确度直接影响
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齿轮弯曲应力有限元分析
有限元分析的结果。在有限元分析中确定边界条件一般应做到以下几条：要施加足够的约束，保证模型不产生刚体位移；施加的边界条件必须符合物理模型的实际工况；力求简单直观，便于计算分析。
轮齿在受载时，齿根所受的弯矩最大。根据分析，齿根所受的最大弯矩发生在轮齿啮合点位于单对啮合区最高点。因此，齿根弯曲强度也应该按载荷作用于单对啮合区最高点来计算。由于这种算法比较复杂，通常只用于高精度的齿轮传动。为了便于计算和施加载荷，通常将全部载荷作用于齿顶，作用方向为齿顶圆压力角。为了加载方便，将沿啮合线作用在齿面上的法向载荷Fn在节点处分解为2个相互垂直的分力，即圆周力Ft与径向力Fr。载荷的大小[9]可以根据设计承载的扭矩按公式求得。
2*T Ft? （3-1）
d Fr?Ft*tanα （3-2）
式中，Ft为圆周力；Fr为径向力；T为扭矩；d为载荷作用点处齿轮直径。 施加位移约束：对齿轮内孔分别对X、Y、Z三个方向上的平动和转动进行约束。 施加载荷：对齿轮其中一个轮齿
1ELEMENTS的齿顶圆上的节点施加圆周力Ft与径向 力Fr。每个节点上施加的力[9]按式（3-3） 和（3-4）计算。其中圆周力Ft为6496N
FJUN 4 201112:55:18YZX，径向力Fr为2364.25N，单个轮齿的齿 顶圆上的节点数为16个，故求得
Fx=147.77N,Fy=406N。施加约束和载荷具 STATIC ANSYS OF A GEAR 体结果见图3-4所示。 图3-4 施加约束和载荷
F Fx?r （3-3）
nF Fy?t （3-4）
n3.2.3计算求解及后处理
有限元模型的求解不是目的，求解得出的数学模型的计算结果才是所关心的。ANSYS提供了2个后处理器：通用后处理器和时间历程后处理器。本文对齿轮进行的是静态分析，采用通用后处理器对求解结果进行后处理。
利用ANSYS求解器对齿轮进行求解：采用通用后处理器对齿轮分析结果进行显示。 （1）浏览节点各分量的位移和应力值。依次选择Main Menu>General Postproc>Plot
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基于ANSYS的齿轮模态分析
Results>Contour Plot>Nodal Solu，弹出【Contour Nodal Solution Data】对话框。在【Item to be contoured】列表框中分别选择“DOF Solution”和“stress”选项，再在“DOF Solution”和“stress” 选项中分别选择X,Y,Z三个方向，单击OK按钮，生成结果如图3-5~图3-10所示。
1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1UX (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-.117E-03SMX =.025728MX1NODAL SOLUTIONJUN 4 201114:19:13STEP=1SUB =1TIME=1SX (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-737.571SMX =215.979JUN 4 201114:20:55YXZMNMXMNYXZ-.117E-03.002754.005626.008498.011369.014241.017113.019985.022856-737.571.025728-631.621-525.671-419.721-313.771-207.821-101.8714.079110.029215.979STATIC ANSYS OF A GEAR STATIC ANSYS OF A GEAR 图3-5 齿轮1X方向位移 图3-6 齿轮1X方向应力
1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1UY (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-.005114SMX =.006818MXMN1JUN 4 201114:19:46NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1SY (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-459.213SMX =455.493JUN 4 201114:21:09YXZMXMNYXZ-459.213-.005114-.003788-.002462-.001137.189E-03.001515.002841.004167.005493-357.579-255.945-154.311-52.67748.957150.591252.225353.859455.493.006818STATIC ANSYS OF A GEAR STATIC ANSYS OF A GEAR 图3-7 齿轮1Y方向位移 图3-8 齿轮1Y方向应力
1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1UZ (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-.001889SMX =.001933MN1NODAL SOLUTIONJUN 4 201114:20:05STEP=1SUB =1TIME=1SZ (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMN =-204.058SMX =141.4JUN 4 201114:21:24YMXMXMNYXZXZ-.001889-.001464-.00104-.615E-03-.190E-03.234E-03.659E-03.001084.001508-204.058.001933-165.674-127.29-88.905-50.521-12.13726.24764.632103.016141.4STATIC ANSYS OF A GEAR STATIC ANSYS OF A GEAR 图3-9 齿轮1Z方向位移 图3-10齿轮1Z方向应力
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齿轮弯曲应力有限元分析
（2）浏览节点上的等效应变和应力值。依次选择Main Menu>General Postproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu，弹出【Contour Nodal Solution Data】对话框。在【Item to be contoured】列表框中分别选择“DOF Solution”和“stress”选项”，接着分别选择“Displacement vector sum”和“von Mises stress”选项，单击OK按钮，生成结果如图3-11和图3-12所示。
1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1USUM (AVG)RSYS=0DMX =.026217SMX =.026217JUN 4 201114:20:33MXYXMNZ.005826.011652.017478.023304.002913.008739.014565.020391.026217STATIC ANSYS OF A GEAR 0 图3-11 Displacement vector sum(位移矢量图)
1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1SEQV (AVG)DMX =.026217SMN =.902E-03SMX =669.066JUN 4 201114:21:45MXYXZMN.902E-0374.342148.682223.023297.363371.704446.044520.385594.726669.066STATIC ANSYS OF A GEAR 图3-12 von Mises 等效应力图
（3）列出节点的列表结果。依次选择Main Menu >General Postproc >List Result >Nodal Solution，弹出【List Nodal Solution】对话框。在【Item to be listed】
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