二、单项选择题：
2
1、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x的系数为( A )。 A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2
2、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，
f(n?1)(?)Rn(x)?f(x)?Pn(x)?(n?1)! (B)
(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，
f(n?1)(?)Rn(x)?f(x)?Pn(x)??n?1(x)(n?1)!(D)
3、有下列数表 x 0 f(-2 0.5 -1.75 1 -1 1.5 0.25 2 5 2 2.4.x) 25 所确定的插值多项式的次数是（ A ）。 （A）二次； （B）三次； （C）四次； （D）五次
4、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ D ） xi 3.5 １ 1.5 ２ 2.5 ３ f(xi) 11.5 -1 0.5 2.5 5.0 8.0 (A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。
?l(x)x?k(k?0,1,?,9)ik5、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则k?0(A)x； （B）k； （C）i； （D）1。 6、由下列数据 0 1 2 3 4 x f(x) 1 2 4 3 -5 确定的唯一插值多项式的次数为( A ) (A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 三、问答题
1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？
9kli(k)?( C )
答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多
项式，它可表示为 2.给定插值点
并有以下性质，
可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它
们是否相同？为什么?它们各有何优点？ 答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为
Newton插值多项式为它们形式不同但
6
都满足条件次多项式
与
,于是
有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故
是相同的。
它表明n
即
是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和 每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。
应用，但不便于计算，而
3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？
答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为
，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条
件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为
即可得到Hermite插值余项。 四、计算题
1、设f?x??x?5x?1,求差商
7301012017018f??2,2??,f??2,2,2??,f??2,2,?,2??,f??2,2,?,2??
012????2?7,f2?169,f2解：f?????????16705，故 0112012?????f?2,2?162,f2,2?8268,f2,2,2???????2702
后面相因子改为
根据差商的性质，得
017f??2,2,?,2???f?f7?7!?8?????1
018?f?2,2,?,2???8!????0xi:12、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式: yi2yi'解：根据已知条件可求得
23
1?122?0?x???2x?1??x?2?,?1?x????2x?5??x?1??0?x???x?1??x?2?,?1?x???x?2??x?1?代入埃尔米特三次插值多项式公式
22
7
'p3?x??y0?0?x??y1?1?x??y0?0?x??y0'?1?x? =2?2x?1??x?2??3??2x?5??x?1???x?1??x?2???x?2??x?1?3、如有下列表函数:
2222
xi f?xi?
0 3
1 6
2 11
3 18
4 27
试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下：
xi 0 1 2 3 4 fi 3 6 11 18 27 ?fi 3 5 7 9 ?2fi 1 1 1 ?3fi 0 0 ?4fi 0
2
N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x+2x+3,0≤x≤1 4、给出lnx的函数表如下： x 0.40 0.50 0.60 0.70 －0.356675 lnx －0.916291 －0.693147 －0.510826 试用线性插值和抛物插值求ln0.54的近似值。
5．已知
x F（x） -1 3 1 1 2 -1 请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange插值多项式。
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解：记x0??1,x1?1,x2?2,则f(x0)?3,f(x1)?1,f(x2)??1所以L2(x)?f(x0)?f(x2)(x?x0)(x?x2)(x?x1)(x?x2)?f(x1)(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x0?x2)(x?x0)(x?x1)(x2?x0)(x2?x1)
(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)?3??1?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(x?1)(x?1)?(?1)?(2?1)(2?1)111?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)2236.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式
f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f’(1)=3,并写出插值余项。 解：根据Lagrange插值多项式和Newton插值多项式得出
L2?x??N2?x??3x2?2x?1
设待插值函数为：
H3?x??N2?x??k?x?0??x?1??x?2?
根据
’H3?1??f'?1??3, 得参数k?1, 则
H3?x??x3?1.
插值余项为： ?4?f???2 R3?x??f?x??H3?x??x?x?1??x?2?4!
7、 已知
xi f(xi) 1 2 3 6 4 5 5 4 P(x)，
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式3并求f(2)的近似值（保
留四位小数）。
L3(x)?2答案：
(x?3)(x?4)(x?5)(x?1)(x?4)(x?5)?6(1?3)(1?4)(1?5)(3?1)(3?4)(3?5)
?5
(x?1)(x?3)(x?5)(x?1)(x?3)(x?4)?4(4?1)(4?3)(4?5)(5?1)(5?3)(5?4)
差商表为
9
xi 1 3 4 5 yi 2 6 5 4 一阶均差 2 -1 -1 二阶均差 -1 0 三阶均差 14 1P3(x)?N3(x)?2?2(x?1)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?3)(x?4)4
f(2)?P3(2)?5.5
8、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表
xi yi 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 答案：解： 应选三个节点，使误差
|R2(x)|?M3|?3(x)||?(x)|尽量小，最靠近3!尽量小，即应使3插值点的三个节点满足上述要求。即取节点{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果
sin0.63891?0.596274， 且
sin0.63891?0.596274?1(0.63891?0.5)(0.63891?9?0.6)(0.63891?0.7)3!
?0.55032?10?4?xx?0,x?0.5,x?1f(x)?e0129、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式P2(x),
并估计误差。
解：
P2(x)?e?0?(x?0.5)(x?1)?0.5(x?0)(x?1)?e?(0?0.5)(0?1)(0.5?0)(0.5?1)
?e?1?(x?0)(x?0.5)(1?0)(1?0.5)?2(x?0.5)(x?1)?4e?0.5x(x?1)?2e?1x(x?0.5)
又
f(x)?e?x,f???(x)??e?x,M3?max|f???(x)|?1x?[0,1]
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