全国大学生数学竞赛选拔与 第五届数学大奖赛小论文格式和题目
一、全国大学生数学竞赛选拔事项
（1）本次数学大奖赛笔试成绩将作为全国大学生数学竞赛选拔的主要依据。 （2）全国大学生数学竞赛选拔名单将在2010年7月7日晚上23：00前公布。 （3）选拔名单会在以下三处公布：
（A）在http://e-learning.ecust.edu.cn/精品课程中高等数学的公告栏里发布，具体网址为：http://e-learning.ecust.edu.cn/Able.ACC2.Web/Template/View.aspx?courseType=0&courseId=26825&topMenuId=72275&menuType=4&action=view&type=&name=; （B）发e-mail给入选者；
（C）没有e-mail（或者e-mail填错）的同学可以在公共邮箱gdsx_ecust@126.com 里查到，密码gdsxecust。
（4）被选拔上的同学于2010年7月8日上午8：00在A101开会。主要公布初步的培训计划，暑期安排和培训资料的购买（上过提高班的同学不需要再买资料）等事宜。 （5）参加本次大奖赛的同学都需完成小论文的书写，否则自动放弃竞赛。
二、数学大奖赛小论文内容与格式的规范
撰写小论文须在公布的“小论文选题”范围之内进行选题。为规范论文格式，论文须含以下内容之（1）~（7）。论文题目可以自行命名，但内容须与（5）②之选题编号所指课题相符。 论文格式： （1） 论文题目 （2） 作者姓名 （3） 摘要
（4） 关键词（至少3个）
（5） 首页脚注 ① 作者信息：班级，学号，联系电话，email地址 ② 选题编号 （6） 正文 （7） 参考文献
小论文在暑假期间完成，不得从网上或杂志上抄袭，否则以零分记。 小论文在开学后的二周以内交到奉贤理学院教务办公室。
三、华东理工大学2011年“数学大奖赛”小论文题目
课题一：国外微积分、大学数学教学的发展及其状况分析
研究思路和目标：
（1）通过资料的查询、收集国外大学微积分、大学数学教学的目前状况及发展趋势； （2）通过数据分析，教材编写思想，教材内容，教育思想，教学方法等方面，比较与
国内大学数学教学的差异以及我们需要进行的改革。
课题二：第二型曲面积分化为二重积分计算问题
考虑计算第二型曲面积分
I????P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
???P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx???R(x,y,z)dxdy。
????按照通常的公式，在计算积分??R(x,y,z)dxdy时，需将?往xoy平面上投影，将积分同样地，在计算积分??Q(x,y,z)dzdx，??R(x,y,z)dxdy化为投影区域Dxy上的二重积分。
????P(x,y,z)dydz时，需分别把?往xoz，yoz平面上投影，得投影区域Dxz、Dyz后，将
?积分化为Dxz、Dyz上的二重积分，这样的计算方法有时是不方便的。
问题：（1）在计算??R(x,y,z)dxdy时，能否将积分化为?在xoz或yoz平面上的投影区域
?Dxz、Dyz 上的二重积分？
（2） 在计算??Q(x,y,z)dzdx时，能否将积分化为?在xoy或yoz平面上的投影区域Dxy、
?Dyz 上的二重积分？
（3） 在计算??P(x,y,z)dydz时，能否将积分化为?在xoy或xoz平面上的投影区域Dxy、Dxz
?上的二重积分？ （4）能否将积分I???P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
????P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx???R(x,y,z)dxdy
??? 化为?在同一个坐标面上的投影区域上的二重积分？ 研究思路和目标：
（1） 研究第二型曲面积分化为二重积分的方法。 （2） 建立将积分I???P(x,y,z)dydz??Q(x,y,z)dzd?x?在同一个化为R(,x,y)zdxdy坐标面的投影区域上的二重积分的计算公式。
（3） 举出应用这些公式计算第二型曲面积分的例子，并与原方法进行比较。 （4） 归纳出这一公式的应用特点。 参考资料：(1) Thomas’ Calculus。
(2) ?。M。菲赫金哥尔茨：微积分学教程 第三卷 第二分册。
课题三：一个命题的推广
命题：对任意自然数n，成立如下不等式：
2nn?1?2?3???3研究思路和目标：
（1） 对以上命题给出推广，并证明你的结论。
（2） 命题的推广有许多种，希望能给出尽可能多的推广命题。 参考资料： 命题的证明：将
23n0n?4n?36n。
23nn写为：
102nn?1nkk?1nn??xdx??xdx??1xdx????xdx???k?1xdx；
将1?2?3???10n写为：
2nn?1n1?2?3???n??1dx??12dx????ndx???k?1kk?1kdx。
所以，1?n2?n3???kk?1n?23nnn?
kk?1??k?1kk?1kdx???k?1xdx???k?1(k?x)dx?0。从而左边的不等式成立。
为证明右边依然考虑： 1?2?3???n?23nnn???k?1kk?1n(k?x)dx???k?1kk?1k?xk?xdx
n???k?1kk?1k?xk?k?1ndx??k?11k?n?k?1kk?1(k?x)dx?1n?21k?k?1
k?1?1(?2k?1k?k?1)?1212(n?1)?n2。
也就是1?
2?3???n?23nn?n?4n?36n，从而结论成立。
课题四：一般换元法在重积分计算中的应用
极坐标换元提供了一种计算重积分的新方法，其优越性和局限性相当明显。作为极坐标换元的推广，一般换元法能够更灵活地计算重积分。
研究思路和目标：
通过例子说明一般换元法在重积分计算中的成功应用。
课题五：沙丘的形状
向圆形硬纸板上倒沙子，直到其形状不再改变为止。此时，沙丘应为一个圆锥体，为什么？
若圆形的硬纸板换成其他形状，试探讨这些不同的沙丘的形状。 研究思路和目标：
（1） 先研究沙丘在半平面上的形状，并得到它形成的机理。 （2） 再考虑硬纸板为凸多边形的情形。 （3） 若硬纸板为凹多边形，沙丘又会怎样？
（4） 还可以考虑硬纸板的边界不是直线段，如圆，椭圆等，沙丘形状又作怎样改变？
课题六：乘积函数的有理分式近似表示问题
利用e,ln(1?x),(1?x),sinx,cosx等常用函数的麦克劳林级数可以将某些较简单的初等函数展开为幂级数，并可用此幂级数的部分和作为函数的多项式近似表示。对于由两个因子之积构成的初等函数F(x)?f(x)g(x) ,在一定条件下可以由f与g的幂级数展开式
?xuf(x)??n?0anx与g(x)?n??n?0bnx，利用柯西乘积得到F(x)幂级数展开式，以及F(x)的
n多项式近似式。对于某些f(x)如ex,(1?x)u等，容易写出
1f(x)的幂级数展开式
1f(x)????n?0nx.于是由F(x)?n???bnxnnnx 容易得到F(x)的有理分式近似表示
n?bixF(x)?i?0ni （1）
i??ixi?0研究思路和目标：
本课题可先讨论用这种思想方法处理这一问题的可行性，然后进一步建立近似式（1）的误差估计式等。
课题七：热传导问题
北方城镇的窗户玻璃是双层的，这样做的目的是使室内保温。试用数学方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。 研究思路和目标：
可作如下假设进行分析：
（1）热传导物理定律，即厚度为d的均匀介质，两侧温度差为?T，则单位时间内由温度
高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与?T成正比，与d成反比，即
Q?k?Td
（2）室内的热量传播只有传导形式（不考虑对流，辐射）。
（3）室内温度与室外温度保持不变（即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数）。
玻璃厚度一定，玻璃材料均匀（即热传导系数是常数）。