19．（1）F(x)?(sinx?cosx)(cosx?sinx)?(sinx?cosx)2 ?cos2x?1?sin2x? 所以F(x)max?2sin(2x??4)?1 （3分）
2?1 （2分） T?2?2?? （2分）
13 （2）f(x)?2f?(x)?sinx?cosx?2(cosx?sinx)?tanx?222 （3分）
1?sincos2xx?sinx?cosx?2tanx?11?tanx（2分） ?9?113?116 （2分）
1?20. 解：设切点A的坐标为(a,3a) （0?a?2）
则y??6x?k?6a 所以切线l的方程为：y?3a2?6a(x?a) （2分）
令y?0得x?a22，令x?2得y?12a?3a
2 所以
S1?S2?2?0?331?a?33222?(12a?3a)??a?6a?12a?8??2?2?4（0?a?2） 记f(a)??34a?6a?12a?8，（0?a?2） （5分）
34a?6a?12a?8在a?[0,2]时的最小值，
49433232 则转化为求f(a)?? f?(a)??942a?12a?12??(a?)(a?4)
（2分）
a 0 (0,) 3443 (,2) 2 34 f?(a) — 0 ? f(a) 8 89 2 （3分） 由上表知：当a?43，f(a)取得最小值
8989.
因此面积S1?S2的最小值
（2分）
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21．（1）由 ① 得：f(0)?0
由 ③得：f(0)?f(0)?f(0)?f(0)?0 所以：f(0)?0 （3分）
（3）当x?[,1]?x?2112?1?2x
由（2）得：f(x)?1
所以：f(x)?2x （3分） 当x?[,]?2x?[,1]?f(2x)?2(2x)?4x
422111 由 ③ 得：f(2x)?f(x?x)?f(x)?f(x)?2f(x) 即：2f(x)?f(2x) 所以：2f(x)?f(2x)?4x?f(x)?2x （3分） 综上之：f(x)?2x（x?[,1]） （1分）
41
22.（1）由f(x)?kx?(k?1)x?k?k?1x?f?(x)?k?1x2 （1分）
因为：f(x)是(0,??)上的增函数 所以：f?(x)??0对x?(0,??)恒成立 2x 所以：k?1?0?k??1 （2分）
k?1 当：k??1时，f(x)是常函数，不合题意
所以：k??1 （1分）
（2）k?2时，令： g(x)?f(x)?lnx?2?3x?lnx （1分）
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则：g?(x)?
?(x?3)x2（x?(0,??)）
x (0,3) 3 (3,??) g?(x) ? 0 —
g(x) 1?ln3
（2分） 由表知：g(x)max?g(3)?1?ln3?0?g(x)?0（x?(0,??)） 所以：f(x)?lnx（x?(0,??)） （2分）
（3）由（2）得：f(x)?lnx（x?(0,??) 即：lnx?2??3x（x?(0,??)
则：n?N时，ln[n(n?1)?2?3n(n?1)?2?3(1n?1n?1) （3分）
所以：ln(1?2)?ln(2?3)?ln(3?4)???ln[n(n?1)] ?[2?3(1?12)]?[2?3(1?1)]?[2?3(1?1)]???[2?3(1?1)]
2334nn?11111111)] ?2n?3[(1?)?(?)?(?)???(?22334nn?113)?2n?3??2n?3 （3分） ?2n?3(1?n?1n?1
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