高三数学第二轮复习教案
第5讲 解析几何问题的题型与方法（二）
五、注意事项
1．（1） 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度。当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）。因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑。
（2） 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解。
（3）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式。
（4）当直线l1或l2的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直
（5）在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算。
2．（1）用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在。 （2）注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆。
（3）求双曲线的标准方程 应注意两个问题：（1） 正确判断焦点的位置；（2） 设出标准方程后，运用待定系数法求解。
bx2y2x2y2（4）双曲线2?2?1的渐近线方程为y??x或表示为2?2?0。若已知双曲线的渐近
aabab线方程是y??mx，即mx?ny?0，那么双曲线的方程具有以下形式： nm2x2?n2y2?k，其中k是一个不为零的常数。
x2y2y2x2222（5）双曲线的标准方程有两个2?2?1和2?2?1（a＞0，b＞0）。这里b?c?a，
abab其中|F1F2|=2c。要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同。
（6）求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，
要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值。同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个。
六、范例分析
例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。
分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。
解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m，∵直线l交x轴于A(?m,0)，交y轴于B(0,?m)由1??m??m?24，得m??24，代入①得所求直线的方程为：
234343x?4y?24?0
解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有ab?24，因为l的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为?12xy?1，即48x+a2y－48a=0②又该直a48a线与3x+4y+2=0平行，∴
48?a2??48a，∴a??8代入②得所求直线l 的方程为3x?4y?24?0 342说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方
程可表示为Bx－Ay+C2=0的形式。
例2、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A（－2，3），B（3，2），求实数m的取值范围。
解：直线mx+y+2=0过一定点C（0，－2），直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点（0，－2）的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2，∵A（－2，3） B（3，2）
∴k1? k2?? ∴－m≥
43524或－m≤?5 即m≤?4或m≥5 3232说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率－m应
为倾角的正切，而当倾角在（0°，90°）或（90°，180°）内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。
例3、已知x、y满足约束条件
x?1???x?3y??4 ?3x?5y?30?求目标函数z=2x－y的最大值和最小值。
解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）。
作直线l0：2x－y=0，再作一组平行于l0的直线l：2x－y=t，t∈R。
可知，当l在l0的右下方时，直线l上的点（x，y）满足2x－y＞0，即t＞0，而且直线l往右平移时，t随之增大。当直线l平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当l在l0的左上方时，直线l上的点（x，y）满足2x－y＜0，即t＜0，而且直线l往左平移时，t随之减小。当直线l平移至l2的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小。
由 ??x?3y?4?0 解得点B的坐标为（5，3）；
3x?5y?30?0?x?1?27 解得点C的坐标为（1，）。
5?3x?5y?30?02717=?。 55由 ?所以，z最大值=235－3=7；z最小值=231－
例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员。
在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元。问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？
解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元。由题意，得
x?10?y?5???x?y?11x，y∈N， ???48x?56y?60且z=350x+400y。
?x?10y?5??即 ?x?y?11 x，y∈N，
???6x?7y?55作出可行域，作直线l0：350x+400y=0，即7x+8y=0。
作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A（（
25，5），由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点A625，5）不是最优解。 6为求出最优解，必须进行定量分析。 因为，73
25+835≈69.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点6最小的直线是7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当l通过B点时，z=350310+40030=3500元为最小。
答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元。
例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=（t0 （1）写出直线A?B?的方程； （2）计算出点P、Q的坐标； （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q。 ‘解: （1） 显然A'?1,1?t?，B 于是 直线A?B?的方程为y??tx?1； ??1，1?t?，?x2?y2?1,2t1?t2,)； （2）由方程组? 解出 P(0,1)、Q(221?t1?t?y??tx?1,1?t2?021?t211?t。 ???22ttt(1?t)?t1?t2（3）kPT?1?01??， kQT0?tt由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过 点Q。 说明：需要注意的是，Q点的坐标本质上是三角中的万能公式，有趣吗? 例6、设P是圆M：（x－5）2+（y－5）2=1上的动点，它关于A（9，0）的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值。 解：设P（x，y），则Q（18－x，－y），记P点对应的复数为x+yi，则S点对应的复数为： （x+yi）2i=－y+xi，即S（－y，x） ∴|SQ|?(18?x?y)2?(?y?x)2 ?182?x2?y2?36x?36y?2xy?x2?y2?2xy?2?x2?y2?18x?18y?81?81?2?(x?9)2?(y?9)222其中(x?9)?(y?9)可以看作是点P到定点B（9，－9）的距离，共最大值为|MB|?r?253?1 最小值为|MB|?r?253?1，则|SQ|的最大值为2106? 2，|SQ|的最小值为2106?2