?-18-7 如图所示，半径为R= 8 cm的圆柱形空间内有一均匀磁场B，以每秒102
的速率减小，在该磁场空间中，离轴线O分别为r1 = 5 cm处的A点以及r2 = 10 cm处的C点各有一个由静止状态释放的电子，求：两电子在释放时刻的加速度．（me = 9.1×10?31 kg，e =1.6×10?19 C）
(原6、9题合并)
?解：∵ B∥轴，均匀分布，且减小，
? × ?× × × × B× ?∴Ei线为一系列顺时针同轴圆环．
× O A C × × × × × 题18-7图 ∴ 作半径为 r 的同轴圆形环路，取顺时针为正，
??d?md?m1d?m则 ?Ei?dr?? ?Ei?2π r???Ei??
L2πrdtdtdt当 r < R时，?m?BScos0??π r2B ? Ei内??rdB
2dt当 r > R时，?m?π R2B ? Ei外??rR2dB 2rdt∵ dB/dt?0，∴Ei内和Ei外线均沿顺时针．
电子初速度为0时，初始时刻电子只受电场力的作用，
???电场力Fe??eEi?meae，
???∴电子加速度 a?ae?Feme 沿均逆时针切向．
2eEi内eEi外erdBeRdB大小： a内?m?2m， a外?m?2merdteeedt∴ aA?er1dB=…= 4.40×107 (m/s2)，
2medt2eRdBaC?=…= 5.63×107 (m/s2)
2mer2dt??aA和aC均逆时针切向．
21
18-8 两根平行的无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反的电流I，电
流变化率dIdt??> 0，一个边长为d的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示．求线圈中的感应电动势 ，并说明线圈中感应电流的方向．(原8题)
?I解：∵ ∞长直导线外一点处 B?0
2π r??在线圈内，B1向外，B2向里
?∴ B?B1?B2，B向外，B↑，
dIId1d2题18-8图
???Id11∵ d?m?B?dS?B?dS?(B1?B2)d?dy?0?(?)dy
2πd?y2d?yddy??Id?ddy?0Id3)??0Idln4 ??0∴ ?m??d?m?0??0?(ln2?ln?2π?d?y322π2π2d?y?∴ ||?d?m?d?? d4?0ln4?dI?0ln 2π3dtdt2π3 顺时针，∴ Ii
由楞次定律可判定为 也为顺时针．
18-9 矩形截面螺线环（尺寸如图所示）上绕有N匝线圈，若线圈中通有电流I，D2通过螺线环截面的磁通量Φm = ?0N I h / 2?．
D1⑴ 求螺线环内外直径之比D1 /D2； ⑵ 若h = 0.01m，N = 100匝，求螺线环的自感系数； ⑶ 若线圈通以交变电流I = I0 cos?t（I0, ?为常数），
h求环内的感应电动势．(原11题)
解：⑴ 取半径 r 的圆为闭合回路，由环路定理
I ???LB?dr??0?I内 ? B?2π r??0NI 题18-9图
∴ 螺线环 B??0NI2π r
??0N2hI0?2πsin? t??r2?NI?NIhD2∴ ?m??B?dS??0?hdr?0 lnr12π rSD12π而已知 Φm = ?0N I h / 2?，比较得 lnD2?1 ? D2D1?e D1N?m?0N2h4??10?7?104?10?2??2?10?5H ⑵ L?i???I2π2π?0N2hI0?did⑶ L??L??L(I0cos? t)?I0L?sin? t?sin? t
dtdt2π
22
18-10 在半径为R的长直螺线管中，磁感应强度的大小B以dB/dt 的变化率增
加．有一根细金属杆AG垂直于磁场方向穿过螺线管，如图所示，已知AC = CD = DG = R ，求金属杆AG中的感应电动势，并指出 A、G 两点哪一点的电势高．
解：连接OA、OG构成闭合回路OAGO，通过该? × × ?B回路的磁通量等于通过等边ΔOCD和两个扇形
× × O × × OMC、ODN的磁通量之和． ∵??????60? ∴??30?
等边Δ面积 S1?3R24，
30π R22π R?扇形面积 S2? 36012× A C × × × × D × G 题18-10图
?m??SB? dS??SBcos180?dS
???× ?B × × × O × × 33?2π2RB ??B(S1?2S2)??12× ?× × × N?M d?m33?2π2dB?????R N OAGO =OA + AG + GO??× × 12dtdtA C D G ??AA而 OA??OEi? dl??OEidlcos90?= 0，同理 GO = 0
∴
AG =OAGO?33?2π2dBR > 0，12dtAG方向为
A→G，即G点电势高.
18-11 如图所示，长直导线AC中的电流I沿导线向上，并以dI/dt = 2A/s的速
度均匀增长，在导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，求此线框中产生的感应电动势的大小和方向． C(原13题) z C解：建立坐标轴 rOz，取面元 dS， I∵ 斜边方程为 z?0.3?2r
I?0IdS ∴ dS?(0.3?2r)dr， 而 B?
2π r??∴ ?m??B?dS??BdS ssA5cm10cmrdr?0I0.150.3?0(3ln3?2)题18-11图 O r ?(?2)dr?IA5cm10cm2π?0.05r20 π20cm ∴ ???(3ln3?2)dId?m??5.1?10?8(V) ??020πdtdt23
20cm 逆时针方向．
18-12 一个三角形闭合导线，如图放置于xy平面内，在这三角形区域中的磁感
??为z轴方向单位矢量，求?，式中B0和a是常量，k应强度为B?Bx2ye?atk0导线中的感生电动势．
(原15题)
解：∵回路的上边界方程为y?b?x
yb??bb?x∴ ?m??B? dS??BdS???Bdxdy?B0e?at?0x2dx?0ydy
SSb?1B0e?at?0x2(b?x)2dx?1B0b5e?at 260Ozbx题18-12图 ?atd?m15de?1B0ab5e?at， ∴ ????B0b6060dtdt?成右手螺旋，即逆时针方向． 与k
18-13 在垂直图面的圆柱形空间内有一随时间均匀变化的均匀磁场，其磁感应
强度的方向垂直图面向里．在图面内有两条相交于O点夹角为60o 的直导线Oa和Ob，而O点则是圆柱形空间的轴线与图面的交点．此外，在图面内另
??有一半径为r的半圆形导线在上述两条直导线上以速度?匀速滑动．?的方向与∠aOb的角平分线一致，并指向O点，如图所示．在时刻t，半圆环的圆心正好与O点重合，此时磁感应强度的大小为B，磁感应强度大小随时间的变化率为k ( k为正整数)．求此时半圆环导线与两条a × × ?c直线所围成的闭合回路cdOc中的感应电动势 i．
?× ?× × ?× 解：取顺时针为正. BO 回路 cdOc 中的感应电动势有感生电动势 i1 和动生× × × × rd电动势 i2 两种．
× × bd?1d?m?题18-13图 ???B?r2????1r2?dB??1π r2k i1??6dt?22dtdt?弧线cd上的动生电动势等效于弦cd上的：
i2?c??d??(??B)?dl??Bcd??Br ?i1 +
∴
i = i2??Br11?π r2k?(?B?π rk)r 66?B?1π rk时，
6i 顺时针；反之，i 逆时针.
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?18-14 如图所示，长为l的导线杆ab以速度?在导轨adcb上平行移动，杆ab
??在t = 0时位于导轨dc处．如果导轨处于磁感应强度为B?B0sin?t的均匀
?磁场中（?为常数，B0垂直纸面向里，为常矢量），求t时刻导线回路中的感应电动势． × d × × a × × (原1题变) × × ? × × ? × ?B解：规定回路正向沿顺时针．t时刻，ab位于?t处，则 × × × × × ?m?BS?B0sin? t?l? t?B0l? tsin? t
??× c × × b × × 题18-14图
d?md??(B0l? tsin? t)??B0l? (sin? t?? tcos? t) dtdt
18-15 真空中两条相距2a的平行长直导线，通以方向相同，大小相等的电流I，
O、P 两点与两导线在同一平面内，与导线的距离如
图所示，则O点的磁场能量密度wmO =_____0____， P点的磁场能量密度wmP =____wmP2?0I2?____． P9?2a2aIaOaI?解：取B向外为正，则 BO?BO2?BO1?0，
1题18-15图
2BP?BP1?BP2?2π a?0I?2π3a?0I?2?0I， wm?1HB?1B2， ∴?? 3π a2?02
18-16 同轴长电缆由两导体组成，内层是半径为R1的圆柱体，外层是内外半径
分别为R2，R3的圆筒，二导体内电流等值反向均匀分布在横截面上，圆柱与圆筒的磁导率为?1，其间充满不导电的磁导率为?2的均匀介质，如图所示．试求：圆柱与圆筒间单位长度的磁场能量． I(原14题简化)
解：系统具∞长轴对称性，作半径 r 的圆形环路， I???I0内I则 ?H?dr?H?2? r??I0内，∴H?
L2π r题18-16图
I?I当 R1< r 2π r2π r?2II?2I211wm?B2H2? ?222π r2π r8π2 r2Wm??VwmdV??RR21?2I28π2r2π r dr?2?2I24πlnR2 R1 25