例3 我们知道，当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对地面的高度为：，在2秒时运动员的速度（瞬时速度）为多少？ 该运动员在2秒内到2．1秒（记为［2，2．1］）平均速度为
同样，可以计算出［2，2．1］［2，2．001］，?的平均速度，也可以计算出［1．99，2］，［1．999，2］?的平均速度。
由此可以看出,当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，这一常数（13.1）就可作为该运动员在2秒时的速度。
例4 如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转（旋转角度不超过90o）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是（ ）。
例5 有一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒。 （1）试把方盒的容积V表示x的函数。 （2）求x多大时，做成方盒的容积V最大。
选修1-2
在本模块中，学生将学习统计案例、推理与证明、数系扩充及复数的引入、框图。
学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过演绎推理或逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。在本模块中，学生将学习用“流程图”“结构图”等刻画数学问题以及其他问题的解决过程；并在学习过程中，体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，能清晰地表达和交流思想。 内容与要求
1．统计案例（约14课时）
通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。
（1）通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求232列联表）的基本思想、方法及初步应用。
（2）通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见例1）。
（3）通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。 （4）通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。
2．推理与证明（约10课时） （1）合情推理与演绎推理
①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见例2、例3）。
②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （2）直接证明与间接证明
①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
（3）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。 3．数系的扩充与复数的引入（约4课时）
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 （3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4） 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 4．框图（约6课时） （1）流程图
①通过具体实例，进一步认识程序框图。
②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）（参见例4、例5）。 ③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。 （2）结构图
①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。 ②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。 说明与建议
1．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1个案例，要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。
2．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。
3．教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。
4．本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。
5．框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性。
6．在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3=1的根、介绍代数学基本定理等。 参考案例
例1 某地区羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选5只羊做实验，结果这5只羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。
初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占0.4左右。这5只羊都未患病，未必是药的作用。分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取5只羊都不患病的可能性大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几只羊都未患病，应该是药的效果，即药有效。 现假设药无效，5只羊都不生病的概率是 (1-0.4)5≈0.078.
这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的。
这里的分析思想有些像反证法，但并不相同。给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”。
应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能犯错误的。犯错误的概率是0.078。也就是说，我们有近92%的把握认为药是有效的。
例2 探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系（欧拉公式的发现）。 例3 平面上的圆与空间中的球的类比。
例4 零件加工过程的流程图
工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工。每道工序完成时，都要对产品进行检验。粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工合格品为成品，不合格品为废品。请用流程图表示这个零件的加工过程。 例5 数学建模过程的流程图如下。