3-13 判断下列子句集中哪些是不可满足的：
(1) {?P∨Q, ?Q, P, ?P}
(2) { P∨Q , ?P∨Q, P∨?Q, ?P∨?Q } (3) { P(y)∨Q(y) , ?P(f(x))∨R(a)}
(4) {?P(x)∨Q(x) , ?P(y)∨R(y), P(a), S(a), ?S(z)∨?R(z)} (5) {?P(x)∨Q(f(x),a) , ?P(h(y))∨Q(f(h(y)), a)∨?P(z)} (6) {P(x)∨Q(x)∨R(x) , ?P(y)∨R(y), ?Q(a), ?R(b)}
解：(1) 不可满足，其归结过程为：
(2) 不可满足，其归结过程为：
(3) 不是不可满足的，原因是不能由它导出空子句。 (4) 不可满足，其归结过程略
(5) 不是不可满足的，原因是不能由它导出空子句。 (6) 不可满足，其归结过程略
3.14 对下列各题分别证明G是否为F1,F2,…,Fn的逻辑结论：
(1) F: (?x)(?y)(P(x, y)
G: (?y)(?x)(P(x, y) (2) F: (?x)(P(x)∧(Q(a)∨Q(b)))
G: (?x) (P(x)∧Q(x))
(3) F: (?x)(?y)(P(f(x))∧(Q(f(y)))
G: P(f(a))∧P(y)∧Q(y)
(4) F1: (?x)(P(x)→(?y)(Q(y)→?L(x.y)))
F2: (?x) (P(x)∧(?y)(R(y)→L(x.y))) G: (?x)(R(x)→?Q(x))
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?P∨Q ?Q ?P P NIL P∨Q ?P∨Q P∨?Q ?Q ?P∨?Q Q NIL (5) F1: (?x)(P(x)→(Q(x)∧R(x)))
F2: (?x) (P(x)∧S(x)) G: (?x) (S(x)∧R(x))
解：(1) 先将F和?G化成子句集： S={P(a,b), ?P(x,b)} 再对S进行归结：
所以，G是F的逻辑结论
(2) 先将F和?G化成子句集 由F得：S1={P(x)，(Q(a)∨Q(b))} 由于?G为：? (?x) (P(x)∧Q(x))，即
(?x) (? P(x)∨? Q(x))，
可得： S2={? P(x)∨? Q(x)}
因此，扩充的子句集为：
S={ P(x)，(Q(a)∨Q(b))，? P(x)∨? Q(x)}
再对S进行归结：
所以，G是F的逻辑结论
同理可求得(3)、(4)和(5)，其求解过程略。
3.15 设已知：
(1) 如果x是y的父亲，y是z的父亲，则x是z的祖父； (2) 每个人都有一个父亲。
使用归结演绎推理证明：对于某人u，一定存在一个人v，v是u的祖父。 解：先定义谓词 F(x,y)：x是y的父亲
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P(a,b) ?P(x,b) {a/x} NIL Q(a)∨Q(b) {a/b} Q(a) {a/x} ? P(x)∨? Q(x) ? P(a) P(x) {a/x} NIL GF(x,z)：x是z的祖父 P(x)：x是一个人
再用谓词把问题描述出来：
已知F1：(?x) (?y) (?z)( F(x,y)∧F(y,z))→GF(x,z)) F2：(?y)(P(x)→F(x,y))
求证结论G：(?u) (?v)( P(u)→GF(v,u)) 然后再将F1，F2和?G化成子句集： ① ?F(x,y)∨?F(y,z)∨GF(x,z)
② ?P(r)∨F(s,r)
③ P(u)
④ ?GF(v,u))
对上述扩充的子句集，其归结推理过程如下：
{x/v,z/u}
{x/s,y/r}
{y/s,z/r}
{y/z}
{y/u}
由于导出了空子句，故结论得证。
3.16 假设张被盗，公安局派出5个人去调查。案情分析时，贞察员A说：“赵与钱中至少有一个人作案”，贞察员B说：“钱与孙中至少有一个人作案”，贞察员C说：“孙与李中至少有一个人作案”，贞察员D说：“赵与孙中至少有一个人与此案无关”，贞察员E说：“钱与李中至少有一个人与此案无关”。如果这5个侦察员的话都是可信的，使用归结演绎推理求出谁是盗窃犯。
解：(1) 先定义谓词和常量
设C(x)表示x作案，Z表示赵，Q表示钱，S表示孙，L表示李 (2) 将已知事实用谓词公式表示出来 赵与钱中至少有一个人作案：C(Z)∨C(Q) 钱与孙中至少有一个人作案：C(Q)∨C(S) 孙与李中至少有一个人作案：C(S)∨C(L)
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?F(x,y)∨?F(y,z)∨GF(x,z) ?GF(v,u) ?F(x,y)∨?F(y,z) ?P(r)∨F(s,r) ?F(y,z)∨?P(y) ?P(r)∨F(s,r) ?P(y)∨?P(z) ?P(y) P(u) NIL 赵与孙中至少有一个人与此案无关：? (C (Z)∧C(S))，即 ?C (Z) ∨?C(S) 钱与李中至少有一个人与此案无关：? (C (Q)∧C(L))，即 ?C (Q) ∨?C(L) (3) 将所要求的问题用谓词公式表示出来，并与其否定取析取。 设作案者为u，则要求的结论是C(u)。将其与其否)取析取，得：
? C(u) ∨C(u)
(4) 对上述扩充的子句集，按归结原理进行归结，其修改的证明树如下：
{Q/u}
因此，钱是盗窃犯。实际上，本案的盗窃犯不止一人。根据归结原理还可以得出：
{S/u}
因此，孙也是盗窃犯。
3.18 设有子句集：
{P(x)∨Q(a, b), P(a)∨?Q(a, b), ?Q(a, f(a)), ?P(x)∨Q(x, b)} 分别用各种归结策略求出其归结式。
解：支持集策略不可用，原因是没有指明哪个子句是由目标公式的否定化简来的。 删除策略不可用，原因是子句集中没有没有重言式和具有包孕关系的子句。 单文字子句策略的归结过程如下：
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C(Z)∨C(Q) ?C (Z) ∨?C(S) C(Q)∨?C(S) C(Q)∨C(S) C(Q) ?C(u)∨C(u) C(Q) C(S)∨C(L) ?C (Q) ∨?C(L) C(S)∨?C(Q) C(Q)∨C(S) C(S) ?C(u)∨C(u) C(S)
P(x)∨Q(a, b) ?Q(a, f(a)) {b/f(a)} P(a) ?P(x)∨Q(x, b) Q(a, b) {a/x} ?Q(a, f(a)) Q(a, b) {b/f(a)}
用线性输入策略（同时满足祖先过滤策略）的归结过程如下：
{a/x}
{a/x}
3.19 设已知：
(1) 能阅读的人是识字的； (2) 海豚不识字； (3) 有些海豚是很聪明的。
请用归结演绎推理证明：有些很聪明的人并不识字。
解：第一步，先定义谓词， 设R(x)表示x是能阅读的； K(y)表示y是识字的； W(z) 表示z是很聪明的；
第二步，将已知事实和目标用谓词公式表示出来
能阅读的人是识字的：(?x)(R(x))→K(x)) 海豚不识字：(?y)(?K (y)) 有些海豚是很聪明的：(?z) W(z)
有些很聪明的人并不识字：(?x)( W(z)∧?K(x))
第三步，将上述已知事实和目标的否定化成子句集： ?R(x))∨K(x)
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P(x)∨Q(a, b) P(a)∨?Q(a, b) P(a) ?P(x)∨Q(x, b) Q(a,b) ?Q(a, f(a)) {b/f(a)} NIL