成立即可。现在来计算A的特征值。
令(J?1)阶方阵
01S?[101???]
10110则A可以表示为
A?(1?2a?)I?a?S
其中I为(J?1)阶单位矩阵。由此可知，关键是求出S的特征值和特征向量。
设?和w?(w1,w2,?,wJ?1)T分别为S的特征值和特征向量，
Sw??w
写成分量的形式有
?wj??wj?1?wj?2?0,j?0,1,?,J?2 （3.12） ?w?w?00J?先求出wj，再求出S的特征值?。由于S为对称矩阵，所以其特征值?为实数。由Gerschgorin定理知，
??skk??skj
j?kJ?1其中skj为矩阵S的元素。由此得到??2。（3.12）式的第一式为常系数线性差分方程。设其解具有如下形式：
wj??j,??0
将它代入（3.12）式的第一式，便得到关于?的一元二次方程
?2????1?0
此方程称为（3.12）式的第一式的特征方程。由于??2，所以其解为
??其中i??1。可以看到
??i1?()2 22???2??()2?1?()2?1
22
第 5 页 共 6 页
取cos???,sin??1?()2，则??e?i?。因此差分方程（3.12）的解可以表示为 22?wj?a1eij??a2e?ij?,j?0,1,?,J
由w0?0，得到a1?a2?0。再由wJ?0，得到a1eiJ??a2e?iJ??0，从而有
?iJ?a2?eiJ?）?0 （e由此可推a2sinJ??0。a2?0，有J??k?,k?1,2,?J?1。所以得到??得到?k?2cos值为
k?，可以Jk1
?。注意到h?，则S的特征值为?k?2coskh?。从而得到A的特征JJ
kh?,k?1,2,?J?1 211当a??时，?(A)?1。因此显示格式的稳定性条件为a??。
22?k?1?2a??2a?coskh??1?4a?sin2下面讨论隐式格式
?1?1n?1?1?un?unun?unjjj?1?2ujj?1?a?h2??u0 ?j?u0(xj)nn?u0?uJ?0??的稳定性。
可以把隐式格式写成向量形式
un?1?B?1un
nnnT其中un?(u1，B?(1?2a?)I?a?S。利用前面已经求得的S的特征值，可,u2,?,uJ)?1以得到B的特征值
?k(B)?1?2a??a??k(S)?1?2a?(1?coskh?),j?1,2,?,J?1
由此可知，?k(B)?1，从而有?k(B?1)?1。注意的B为对称矩阵，所以B也为对称矩阵，利用直接方法结论（2）知，扩散方程隐式格式是无条件稳定的。 从上面的叙述看来，利用直接方法来分析抛物型方程的初值问题的差分格式并不困难。但在实际应用中却存在着一定的限制。上面讨论稳定性的两个例子中式依据了特殊矩阵S才求出了(J?1)阶矩阵A、B的特征值。一般说来，计算高阶矩阵的特征值是相当困难的，因此直接方法应用也就很困难了。
?1?1 第 6 页 共 7 页
4 能量不等式方法
4.1 方法概述
在讨论线性常系数差分格式的稳定性问题时，建立了判别差分格式的稳定性准则，从而比较容易地判断一些差分格式的稳定性。但对于变系数问题和非线性问题，一般不能采用Fourier方法和直觉法来讨论差分格式的稳定性。而对于上述这些问题，能量不等式方法是研究差分格式稳定性的有力工具。用能量不等式方法讨论差分格式稳定性是从稳定性的定义出发，通过一系列估计式来完成的。这个方法是偏微分方程中常用的能量方法的离散模拟，在此我们仅通过例子叙述其基本思想。
4.2 操作方法
考虑变系数对流方程的初值问题
?u??u??a(x,t)?0,x?R,0?t?T （4.1） ??t?x?u(x,0)?g(x),x?R?假定a(x,t)?0，建立差分格式
?1n?un?ununjjj?uj?1n??aj?0 （4.2） ??h0?uj?g(xj)?其中aj?a(xj,tn)。下面用能量不等式方法来讨论这个差分格式的稳定性。先把它改变形式为
?1nnnun?unjj?aj?(uj?uj?1)
n其中???h为网格比。用uj乘上式的两边，得
?12nnnn?1（ununj）?[uj?aj?(uj?uj?1)]j
n?1如果?满足条件
(maxanj)??1 （4.3）
j则有
?12（unj）?1?anj?22n?12[(unj)?(uj)]?anj?22n?12[(unj?1)?(uj)]
移项得
（u）?(u)?a?(u)?用h乘上面不等式的两边，并对j求和，令
n?12jn2jnjn2janj?2n2anj?(uj?1)
第 7 页 共 8 页
u则有
n2h?j????(u??n2j)h
u如果
n?12h?un2hn2???（an(unj?1?aj）j)h
j???supx,t?a?c （4.4） ?x2h则有
un?1?(1?c?)un
h2由此可得
un2h?(1?c?)u02h?ecTu02h,n??T
由于问题是线性的，因此上述不等式就证明了差分格式（4.2）的稳定性。由此看出，条件（4.4）是微分方程问题中给定的。而差分格式稳定性条件就是（4.3式）式。如果a(x,t)?a即为常系数问题，那么（4.4）式满足，而条件（4.3）就化为a??1，这与我们在课上所学的用Fourier方法得到的结论一致。
5 结论
在本篇论文中，从微分方程的基本概念出发，先介绍了微分方程中比较基本的概念，然后又介绍了有限差分格式的性质。在介绍有限差分格式时从三种求解有限差分格式稳定性的方法出发，分别是：Hirt启示性方法、直接方法（或矩阵方法）和能量不等式方法。在介绍这三种的方法时也是先从基本思想出发，然后分别阐述其方法原理、公式推导和实际应用等。但是求解有限差分格式稳定性的方法很多，作者也仅仅介绍了三种方法，希望能起到抛砖引玉的作用。
参考文献
[1] 陆金甫, 关治：《偏微分方程数值解法》，清华大学出版社，北京，2003 [2] 冯康等编：《数值计算方法》，国防工业出版社，北京，1978. [3] 胡祖炽编：《计算方法》，高等教育出版社，北京，1959。 [4] 清华大学、北京大学《计算方法》编与组编：（计算方法），科学出版社，北京，1980。 [5] 朱幼兰等著：《初边值问题差分法及绕流》，科学出版社，北京，1980。 [6] R．D．里奇特迈尔著，何旭初等译：《初值问题差分方法》，科学出版社，北京，1966 [7 ] R. D. Richtmyer，Difference Methods for Initial-Value Problems，Interscience Pub.，New
York，1957.）
[8] R. D. Richtmyer，K. W. Morton，Difference Methods for Initial-Value Problems，2nd ed.，
Interscience Pub.，New York，1967.
第 8 页 共 9 页