Cc =
-1.4142 -0.0000 1.7321 Tc =
0.7071 -0.0000 -0.7071 -0.4082 -0.8165 -0.4082 -0.5774 0.5774 -0.5774 4. 最小实现
MATLAB 提供的函数minreal( )可直接得出系统的最小实现，其调用格式为
Gm?minreal(G)
其中G为系统的LTI对象，Gm为系统的一个最小实现。
例3-7 求例3-1中系统的最小实现。
在命令窗中运行下列命令
>> A=[0 0 -1;1 0 -3;0 1 -3]; B=[1;1;0]; C=[0 1 -2];G=ss(A,B,C,0);Gm=minreal(G) 返回
2 states removed. a =
x1 x1 -1 b =
u1 x1 0.7071 c =
x1 y1 1.414 d =
u1 y1
实验四 稳定性
一、实验目的
掌握系统稳定性的概念。学会使用MATLAB确定线性定常系统和非线性定常系统的稳定性。 二、实验内容 1. 已知线性系统
?01??04???????(a)x?x (b)x?x
?1?1?10???????(c)x?11??10?? (d)xx?x ?????11??01?（1）用函数eig( )，pole( )和zpkdata( )求出系统的特征值和极点。用函数pzmap( )绘制系
统的零点和极点。确定系统的稳定性。
（2）任意给定对称正定矩阵Q，用函数lyap( )求解Lyaponov方程，确定系统的稳定性。与（1）的结果进行比较。 （3）令B???，C??0?0??0?0? ，D?0，任意给定初始状态。用函数initial( )求出系统
的零输入响应，并绘制相应的状态响应曲线。说明稳定系统的状态响应曲线与不稳定系统的状态响应曲线的区别。 （4）令B???1?，C??11? ，D?0，初始状态为零。 用函数step( )求出系统在单???1?位阶跃信号作用下的状态响应和输出响应, 并绘制相应的曲线。分析系统的状态稳定和输出稳定是否一致。 2. 已知非线性系统 （1）
?1??5x1?x2x?2?x1?x2?x23x?1??3x1?x2x?2?x1x2
（2）
编制相应的程序，用克拉索夫斯基法确定系统在原点处的稳定性。 三、附录
1. 根据系统的极点和特征值判定稳定性
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件是：系统传递函数的全部极点均位于S左半平面；或系统矩阵A的特征值均具有负实部。
利用MATLAB提供的下列函数可以确定系统的极点和特征值。
a) 函数eig( )的调用格式为V?eig(A) 返回方阵A的特征值。
b) 函数roots( )的调用格式为roots(den)，其中den为多项式的系数行向量。计算多
项式方程的解。
c) 函数pole ( )的调用格式为pole(G)，其中G为系统的LTI对象。计算系统传递
函数的极点。
d) 函数zpkdata( )的调用格式为[z,p,k]?zpkdata其中G为系统LTI对象。(G,'v')，
返回系统的零点、极点和增益。
e) 函数pzmap( )的调用格式为pzmap(G)，其中G 为LTI对象。绘制系统的零点和极点。
2. 用李氏第二法判定稳定性 1) 线性定常连续系统的稳定性
??Ax，若A是非奇异矩阵，则原点是其唯一的平衡状态。对于线性定常连续系统x系统在原点处大范围渐近稳定的充分条件是：存在李氏函数v(x)?xTpx，且v(x)正定，
?(x)负定。 vI.
可用以下几种方法构造李氏函数。
试凑法
???例4-1给定系统x1??0x，用李氏第二法判定系统的稳定性。 ???2?3?22?(x)。 选取李氏函数为v(x)?x1?x2，用程序%ex41求v%ex41
syms x1; syms x2; syms V;
A=[0 1;-2 -3]; V=x1*x1+x2*x2;
V1=A(1,1)*x1+A(1,2)*x2; V2=A(2,1)*x1+A(2,2)*x2;
vder=simple(jacobian(V,x1)*V1+jacobian(V,x2)*V2)
在命令窗中运行该程序的结果为
vder=-2*x1*x2-6*x2^2
?(x)不负定，故需另选李氏函数。再选取李氏函数为v(x)?2x1?x2，运行上述程显然v序可得
vder=--6*x2^2
22?(x)负定，从而系统渐近稳定。 显然vII. 用李氏方程求解
设线性定常系统为?(A,B,C,D)。若对于任意给定的对称正定矩阵Q，存在唯一满足Lyapunov方程ATP?PA??Q正定矩阵P，则系统大范围渐近稳定。
可用MATLAB提供的函数lyap( )求解Lyapunov方程，该函数调用格式为：
P?layp(A,Q)
矩阵P的符号性质可用函数posdef( )判定。该函数的调用格式为：
s?posd(ePf) 该函数的程序如下。
function s=posdef(P) %判定矩阵的正定性 r=length(P); for i=1:r
pp(i)=det(P(1:i,1:i)); end
k=find(pp<0);j=find(pp==0); if isempty(j)&isempty(k)
s='matrix is positive definite matrix'; elseif isempty(k)
s='matrix is half positive definite matrix'; else
s='non-definite matrix'; end
例4-2判定例4-1中系统的稳定性。
在命令窗中运行下列命令
>> A=[0 1;-2 -3];Q=eye(2);P=lyap(A,Q) s=posdef(P) 返回 P =
1.0000 -0.5000 -0.5000 0.5000 s =
matrix is positive definite matrix
III. Krasovski法（参下面的讨论） 2）非线性定常系统的稳定性
判断非线性系统x??f(x)稳定性的方法有Krasovski法和变量梯度法等。 在
Krasovski
法中，选取李氏函数为
v(x)?x?Tx?则 ，T??f????f??T????x?TFx? v(x)?x???????x??x??????x??式中的导数项可以利用MATLAB提供的函数jacobian( )求出。该函数的调用格式为
jacob(iaf,nx) 计算函数f对变量x的导数。
例4-3 对于给定非线性系统
??1??3x1?x2?x3
?2?x1?x2?x2?x?(x)。 可用程序%ex43求出F的各阶主子行列式以及v%ex43
syms x1 x2; x=[x1 x2]; f1=-3*x1+x2; f2=x1-x2-x2^3;
F1=[jacobian(f1,x1) jacobian(f1,x2);jacobian(f2,x1) jacobian(f2,x2)]; F2=[jacobian(f1,x1) jacobian(f2,x1);jacobian(f1,x2) jacobian(f2,x2)] ; F=Ft+F2; %计算F n=length(x); for i=1:n
ff(i)=simple(det(F(1:i,1:i))); %计算F的第i阶主子行列式 end ff
v=f1*f1+f2*f2 %计算v(x)
在命令窗中运行该程序得 ff =
[-6, 8+36*x2^2] v =
(-3*x1+x2)^2+(x1-x2-x2^3)^2
可见F负定, 且当x??时，v(x)??，所以系统大范围渐近稳定。
对于线性定常系统，
F?AT?A为常数矩阵，故可以用函数posdef( )直接判定矩
阵F的符号性质，从而判定系统的稳定性。