学生作弊现象与赌博行为的调查和估计
【摘 要】
本文通过作弊和赌博问题的调查，深入研究敏感类问题的调查方法。利用Simmons模型，使被调查者的合作态度进一步提高。进而对两个彼此无关的敏感问题发生的概率进行研究。
针对于问题（1），假设所有被回答者真实回答问题的概率为1（即为必然事件），无放弃回答问题者。利用全概率公式，联立对两组调查求解，分别求出其概率
，
再利用无偏估计，求出其概率估计值
。
，
及方差估计
。
，
针对于问题（2），在实际问题中，对于类似敏感问题，学生真实回答问题的概率不可能为1，现假定曾作过弊学生真实回答问题A的概率为问题B的概率为
，且
，参加过赌博的学生真实回答
均已知，而其他情形均真实作答。由全概率公式得
， 。
联立并利用无偏估计则可得的估计为
，
1
。
与问题（1）的解法相类似，最后我们可以得到方差估计分别为：
关键字：敏感问题 全概率 无偏估计 Simmons模型
1.问题的提出及分析
1.1问题的提出：
作弊与赌博是两个不相关的敏感问题，调查者的目的是估计学生中曾有作弊和赌博 行为的比例，为此设计了如下的问题：
问题A：你在考试中做过弊吗？ 问题B：你从未参加过赌博吗？
这样设计提问也能为被调查者提供足够的保护。为实现此调查方案，选取两组学生独立进行调查，并设计两套外形相同的卡片，其中第i套卡片中写有问题A的比例为 （i=1,2），写有问题B的比例为 ，且 ，第i组被调查学生的人数为 ，他们从第i套卡片中随机选择一张，真是作答后放回，其中回答“是”的人数为 。
分别估计学生中曾有作弊和赌博行为的比例，并给出他们的估计方差。 假定曾作过弊学生真实回答问题A的概率为 ，参加过赌博的学生真实回答问题B的概率为 ，且 均已知，而其他情形均真实作答。试分别重新估计学生中曾有作弊和赌博行为的比例以及它们的估计方差。
1.2问题的分析：
学生在考试中的作弊行为是一个严重困扰学校的学风问题，为了对这种现象的严重程度有一个定量的认识，需要通过调查来估计有过作弊行为的学生到底占多大的比
2
例，作弊行为是不光彩的，很难再学生中做直接调查以得到可靠的数据，因此需要设计合理的调查方案，来提高应答率并降低不真实的回答。
调查方案设计的基本思想是，让被调查者从包含是否作过弊和是否参加过赌博的若干问题中，随机地选答其中一个，同时让调查者也不知道被调查者回答的是哪一个问题，从而保护被调查者的隐私，消除他们的顾虑，能够对自己所选的问题真实回答，
2.模型假设及说明
对于问题（1）中，假设所有被回答者真实回答问题的概率为1（即为必然事件），无放弃回答问题者。
曾作过弊学生真实回答问题A的概率为 ，参加过赌博的学生真实回答问题B的概率为 ， 均已知（即为常数），而其他情形均真实作答。
2.符号系统
1.
2.
分别为在第i组中对问题A,B回答“是”的概率。
分别表示A题回答“是”和B题回答“否”的概率。 表示
的无偏估计
3.问题（1）中：4.问题（1）中：5.问题（2）中：6.问题（2）中：
分别表示A题回答“是”和B题回答“否”的概率。 表示
的无偏估计
3
7.曾作过弊学生真实回答问题A的概率为为
。
，参加过赌博的学生真实回答问题B的概率
4.模型的建立与求解
问题（1）：
我们要分别估计的是有过作弊现象和有过赌博行为的学生比例，可以看做一个被调查学生做过弊的概率和有过赌博行为的概率，即对问题A回答“是”的概率（记为）和对问题B回答“否”的概率（记为引入随机变量
）
独立同分布
现已知，第i套卡片中写有问题A的比例为且
，第i组被调查学生的人数为
（i=1,2），写有问题B的比例为
，
，他们从第i套卡片中随机选择一张，真是作。
答后放回，其中回答“是”的人数为
则第i组回答对问题A、B回答“是”的概率故两组的期望和方差值分别为：
的估计值为
按照假设所有被调差同学的回答都是真实的，于是由全概率公式知
问题（1）：
4
我们要分别估计的是有过作弊现象和有过赌博行为的学生比例，可以看做一个被调查学生做过弊的概率和有过赌博行为的概率，即对问题A回答“是”的概率（记为）和对问题B回答“否”的概率（记为引入随机变量
）
独立同分布
现已知，第i套卡片中写有问题A的比例为且
，第i组被调查学生的人数为
（i=1,2），写有问题B的比例为
，
，他们从第i套卡片中随机选择一张，真是作。
答后放回，其中回答“是”的人数为
则第i组回答对问题A、B回答“是”的概率故两组的期望和方差值分别为：
的估计值为
按照假设所有被调差同学的回答都是真实的，于是由全概率公式知
联立以上两式得
则可得
的估计为
5