课时作业28 数列的概念与简单表示法
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2014·江西八校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an
－1(n∈N＋)，则a5＝( )
A．－16 C．31
B．16 D．32
解析：当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1， 又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)． an∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16. an－1答案：B
2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N＋)，则此数列是( )
A．递增数列 C．常数列
B．递减数列 D．摆动数列
解析：∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an. 两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)． 当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0， ∴an＝0(n∈N＋)，故选C. 答案：C
3．(2014·济南外国语学校模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若a1
＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于( )
A．44 C．3×44
B．3×44＋1 D．44＋1
解析：由an＋1＝3Sn(n≥1)得an＋2＝3Sn＋1，两式相减得an＋2－an＋1
an＋2
＝3an＋1，∴an＋2＝4an＋1，即＝4，a2＝3S1＝3，∴a6＝a244＝3×44.
an＋1
答案：C
4．(2013·全国大纲理，6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－4
3，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3
－10
)
1
B.9(1－310) D．3(1＋3－10)
C．3(1－3－10) 解析：3an＋1＋an＝0 an＋11∴a＝－3＝q
n
14
a2＝a1·q＝－3a1＝－3，∴a1＝4
1
4?1－?－3?10?
－10
∴S10＝＝3(1－3)． 1
1＋3答案：C
5．(2014·山东省实验中学测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝( )
A．2 020×2 012 C．1 010×2 012
B．2 020×2 013 D．1 010×2 013
解析：结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋
2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D.
答案：D
6．已知数列{an}的通项公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[24,36] B．[27,33]
C．{a|27≤a≤33，a∈N＋} D．{a|24≤a≤36，a∈N＋}
解析：由于数列的定义域为正整数，故由二次函数知识，只需9＋a
5.5≤6≤7.5?24≤a≤36即可．
答案：A
7．(2013·新课标Ⅰ理，12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，…，若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝cn＋anbn＋an
an，bn＋1＝2，cn＋1＝2，则( )
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 解析：∵an＋1＝an ∴an＝a，a为常数 c1＋ab1＋ab2＝2 c2＝2 c1＋a＋b1＋a
∴b2＋c2＝＝2a 2归纳可知：bn＋cn＝2a.
∴A点在以2a为焦距的椭圆上 b1－c1
c2－b2＝2 b1－c1
归纳知|cn－bn|＝2n ∴cn与bn是越来越接近 如图，即A点越接近D点
∵{Sn}是递增的，
∴当且仅当cn＝bn＝a时，△AnBnCn面积最大． 答案：B
8．(2014·芜湖)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2 014
的值是( )
A．2 012×2 013 B．2 014×2 015 C．2 0132 D．2 013×2 014
解析：解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相近两整数乘积的形式，可变形为：
a1＝0×1，a2＝1×2，a3＝2×3，a4＝3×4， 猜想a2 014＝2 013×2 014，故选D. 解法2：an－an－1＝2(n－1)， an－1－an－2＝2(n－2)， …
a3－a2＝2×2， a2－a1＝2×1.
所有等式左右两边分别相加
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．
?n－1??n－1＋1?
∴an－a1＝2＝n(n－1)． 2∴an＝n(n－1)．故a2 014＝2 013×2 014. 答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
解析：易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．
答案：10或11
10．(2014·杭州调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N＋)，则a2＝________；an＝________.
an＋1n＋1解析：由an＝n(an＋1－an)，可得a＝n，
n则an＝
n－1n－2anan－1an－2a2n2
···…··a＝×××…××1＝1
a1an－1an－2an－3n－1n－2n－31
n，∴a2＝2，an＝n.
答案：2 n
1
11．(2014·上海崇明区一模)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝3an