分式方程意义及解法
一、内容综述： 1．解分式方程的基本思想
在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程
整式方程
2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法
去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因：
当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解． 检验根的方法：
（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 （2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．
注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．
用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程；
(ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法
为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 用换元法解分式方程的一般步骤：
(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答． 注意：
（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。
（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。
（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。 二、例题精析：
例1．解分式方程：。
分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。
解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得 x+4-x=2(x+2)+x(x+2) 整理后，得x2+4x=0
解这个方程，得x1=0, x2=-4, 代入公分母检验：
当x1=0时，x(x+2)=0×(0+2)=0, ∴ x=0是增根；
当x2=-4时，x(x+2)=-4×(-4+2)≠0, ∴ x=-4是原方程的根。 故原方程的根是x=-4。
例2．解方程：。
分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），
；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式
把分式拆项，将方程化简。
解： 即
移项，整理，得 即 亦即
，
，
，
去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7. 经检验，x=7是原方程的根。 ∴ 原方程的根是x=7。
例3．解方程。
解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得 (x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3) =(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5) 即4x+14=0, ∴ 经检验知
，
是原方程的解。
解法2：方程两边分别通分，得
即
，
，
∴ (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3) 解得
。
解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。 原方程可化为 即：
两边分别通分，得 解之，得
。
，
，
例4．解方程 解：设
。
， 则原方程变形为y2-5y+6=0,
解得y1=2, y2=3, 由 由
=2，解得x1=4; ，解得x2=3.
经检验x1=4, x2=3，都是原方程的根。
例5．用换元法解方程
解：设2x2+3x=y，于是原方程变为 整理，得y2-4y-5=0 解得y1=5, y2=-1. 当y=5时，即2x2+3x=5, 解得x1=1,
,
. ,
当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-1, 经检验， ∴ 原方程的根为
,
都是原方程的根。
。
例6．解方程。
分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。 解：设
，所以原方程变形为：y+
=7,