高考数学中与直线的参数方程有关的选考题的求解关键
云南省建水县第二中学：贾雪光
坐标系与参数方程是近年高考数学试卷中的必有题目，并且这是选考内容中固定的第二题，是高考数学全国卷六个解答题中最简单的一个题目，是我们农村和欠发达地区高中学生一定可以得分的题目，因此在指导学生备考复习教学中一定要引起高度的重视，而这个题目的已知信息，题设条件，设问方式等往往都是和直线的参数方程相综合。笔者认为，求解本题的关键所在就是直线的参数方程的理解和探究。同时，从通过对近几年的高考数学备考复习教学过程的反思，我认为，加强对这一类型问题的教学强化和深入探究，特别是加强对直线参数方程的理解和探究，对提高学生数学高考成绩将会有很大的帮助。下面，笔者就自己的教学心得和体会谈几点看法，如有不妥之处恳请各位同仁批评指正。
一、教学过程中的两个关键结论的推导
结论（一）：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T的由来。
实际上由新课程标准人教A版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平面内过定点p0(x0,y0)、倾斜角为?的直线l的参数方程的标准形式为
?x?x0?tcos?（t为参数），其中t表示直线l上以定点p0为起点，任意一点P??y?y0?tsin?（x，y）为终点的有向线段P0P的数量，特别强调，t一般情况下是指一个单位长度，即如上式中横坐标中参数t的系数cos?，及纵坐标的参数td的系数sin?之间有sin2??cos2??1，如果t的系数的平方和不是常数1时就要考虑参数t的几何意义。另外，当P点在p0上方时t为正，当P点在p0下方时t为负。 结论（二）：教学中必须要强调参数T的几何意义及两个结论的引导应用示范。
实际教学中，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t具有如下的两个重要结论： 如果我们假设直线l上两点A、B所对应的参数分别为tA和tB，则：
第一：A、B两点之间的距离为|AB|?|tA?tB|?(tA?tB)2?4tA?tB，特别地，A、B两点到p0的距离分别为|tA|,|tB|.
第二：A、B两点的中点所对应的参数为则tA?tB?0，反之亦然。
tA?tB，若p0是线段AB的中点，2二、解题过程中关键结论的应用举例
在解决坐标系与参数方程这一选考题，特别是直线的参数方程与曲线的参数方程或是极坐标方程有关的内容的题目时。其中，最典型的题目是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长、或是求一点到某点的距离为定值、求弦的中点等有关方面的题目，我们能够充分利用探究得出的直线参数方程中参数t的上述两个重要结论的话，我们的解题速度和解题正确率、得分率将得到的大大提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。
1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论（一）：
例1、直线l过点P0(?4,0)，倾斜角为两点。
（1）求弦长AB.
（2）求P0A和P0B的长。 （3）P0A?P0B
解：（1）因为直线l过点P0(?4,0)，倾斜角为
?，且与曲线C：??7相交于A、B6?，所以直线l的参数方程为 6???3x??4?tcosx??4?t????62，，即?（t为参数），而曲线C是圆x2?y2?7，于??y?0?tsin??y?1t??6?2?是将直线的参数方程代入圆C的方程，得
(?4?321t)?(t)2?7，整理得t2?43t?9?0 22t1t2?9，有参数T的几何意义设A、B所对应的参数分别为t1,t2，则t1?t2?43，
所以|AB|?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?23.
（2）解：由第一问解方程t2?43t?9?0得，t1?33,t2?3，有参数的几何意义同理可得P0A?|t1|?33，P0B?|t2|?3. （3）由于是由第一问的求解过程可知P0AP0B=t1t2?9
2、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论（二）： 例2、已知直线l过点P0(4,8)，倾斜角为的点的坐标。
解：因为直线l过点P0(4,8)，倾斜角为
?，求出直线l上到点P0的距离为53?，所以直线l的参数方程为 31???x?4?tx?4?tcos??2??3，即?，（t为参数）， （1） ??y?8?tsin??y?8?3t??3?2?设直线l上与已知点P0(4,8)相距为5的点为P点，且P点对应的参数为t，则
|P0P|?|t|?5，所以t??5，将t的值代入（1）式，
1353)； 当t＝5时，M点的坐标为(,8?22353)， 当t＝－5时，M点的坐标为(,8?221353353)或(,8?). 综上，所求P点的坐标为(,8?2222 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求P点的坐标需要将
直线方程代入曲线方程，消元后再用根与系数的关系，中点坐标公式来求解，相当麻烦，而我们使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义，求P点的坐标就显得比较容易。
3、解决有关弦的中点问题时也可以用结论（二）
?x?t?例3、过点P0(1,0)，倾斜角为的直线l和曲线线?相交于M、N两点，24?y?2t求线段MN的中点P的坐标。
解：直线l过点P0(1,0)，倾斜角为
?，所以直线l的参数方程为 4?2x?1?t??2，（t为参数），因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛??y?2t?2?物线方程
y2?2x中，得：(1222t)?2(1?t)，整理得t2?2t?2?0，
2221??(?2)2?4??(?2)?6?0，设这个二次方程的两个根为t1,t2，
2由韦达定理得t1?t2?22，由P为线段MN的中点，根据t的几何意义，得
tp?t1?t2?2，易知中点M所对应的参数为tM?2，将此值代入直线的参2数方程得，M点的坐标为（2，1）
点评：对于上述直线l的参数方程，M、N两点对应的参数为t1,t2，则它们的中点所对应的参数为t?案，这将十分方便快捷。
22?xy例4：过双曲线??1的右焦点F作倾斜角为45的直线L与双曲线交
916t1?t2.将参数值代入直线参数方程后很快就可得到答2于A,B两点，M是AB的中点，求|MF|。
如果用传统的解法则是
解：方法一 依题意a=3,b=4,c=5 所以F(5，0)，又直线l的倾斜角为45度 所以k=1 ?l的方程为y?x?5
x2y2联立??1和y?x?5916
得:7x2?90x?369?0
?xM?x1?x245??2780?xM?5??7
yM
整个解答过程将会比较繁琐，因为传统的解法必须要将直线方程与曲线方程联立，消元后用根与系数的关系及终点坐标公式才能求解。
解法2：依题意l的参数方程为：
?2t?x?5?22?2代入x?y?1?9162?y?t2? ?
?|MF|?6027
得7t2?1602t?512?0
点评：方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数t的几何意义，使求解过程变得简洁， 不容易出错，如果我们在教学中能多引导学生从这些方面思考，那么我们教起来轻松，学生学起来也将会更容易。
结论（三）：两个性质在用的过程中要注意参数T取非单位向量时候的处理转化。
?|MF|?|t1?t2|80?227
三、两个关键结论应用中的一个重要细节
从上面的例子不难看出，这两个性质的确好用，但是，我们在教学中一定要注意下面例子中的问题。就是，当参数t的就需要对参数T所取的单位长度作转化：
?x?1?4t例如：已知曲线的方程是??2cos(??)，直线L的方程是?若
4y??1?3t??直线与曲线相交与A、B两点，求AB弦长。
解法1：解：直线方程可以化简为：3x?4y?1?0，而曲线的方程可化简为：
x2?y2?x?y?0将直线方程代入曲线方程，消去一个未知数y后可得关于x的一元二次方程，由点到直线的距离公式及，弦心距，半径，半弦长之间构成直角
7AB?三角形可以解得5
解法2：将直线的参数方程代入曲线方程，则可以得到一个关于t的一元二次方程：25t2?7t?0如果还是用以前的有参数t的几何意义的话将会求得AB的弦长
|AB|?|tA?tB|?(tA?tB)2?4tA?tB7??025为7 ?25 点评：这一结果与上述结果为何会不一样呢？两种解法所得的结果是哪一种对呢？当然答案是第一种解法的对，实际上这就是在推导直线的参数方程时一定要注意到直线参数方程中参数T的几何意义的问题，实际上，在上述题目中我们的参数T是选取了模为5的向量当作了单位向量，而非模为1的向量为单位向量，但是在解题过程中多数同学甚至是老师也不会注意到这一细节，所以在涉及到直线参数方程，曲线的极坐标方程的问题时我们一定要注意到直线参数方程
2?x?1?4t中参数T的几何意义的探究，如上题中的直线方程?中由于直线的参
y??1?3t??x?x0?tcos?数方程标准形式?中t的系数无论是
?y?y0?tsin?sin?还是cos?，都只能在??1,1?上取值一旦t的前面的系数超过了区间??1,1?则要
考虑参数t是多少个单位长度为单位向量。于是在上面的解答中我们只要在
AB??x?1?4t7的基础上乘以直线参数方程?中t的模5即可以得到正确答案25?y??1?3t77?5?。 255 如果我们能在我们在教学中注意到了上述这些问题，授课过程中交代清楚问题的实质和关键所在。并用适当的例子进行纠错练习的话，那么，学生的学习效果将会得到提升，解题速度和解题正确率、得分率也将会得到提高，高考成绩、数学能力、数学素养也会得到提高和升华。
即AB?
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