《指数函数》教学案例
象山中学 杨祎珍 一、教材分析
(一)单元的地位和作用
指数函数是在学习了指数一节内容之后编排的。通过本节课的学习，既可以对指数和函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可为后面进一步学习对数、对数函数尤其是利用互为反函数的图象间的关系来研究对数函数的性质打下坚实的概念和图象基础。又因指数函数是学生进入高中以后遇到的第一个系统研究的函数，对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础。另外，指数函数的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识有着广泛的现实意义。本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。
(二)教学目标、重点和难点 (1)教学目标分析
新课标指出教学目标应包括知识与技能目标、过程与方法目标和情感、态度、价值观目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确的价值观的过程。以此为指导制定以下的教学目标：
1)知识与技能目标(直接性目标)：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用。
2)过程与方法目标(发展性目标)：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力，加强学生使用数学软件做图像以及使用信息技术解决问题的意识和能力。
3)情感、态度、价值观目标(可持续性目标)：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。
(2)教学重点与难点
根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况，学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识。为此，在教学过程中让学生自己去感受指数函数的生成过程以及图象和性质是这一堂课的突破口。因此，指数函数的图像、性质及其运用作为教学重点，本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 三、教学过程
1、学生活动1：指数函数概念形成
通过以下两个问题，来研究问题中两个变量之间的依赖关系。
问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x有怎样的关系.
问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x次后绳子剩余的长度为y米,试写出y与x之间的关系.
请同学写出上面两个例子中由x计算y的过程，并总结写出x和y的关系式。 [师]:通过问题1,2的分析同学们得出y与x之间有怎样的关系?
[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(?2)个细胞,分裂三次得到8(?2),所以分裂x次以后得到的细胞为2个,即y与x之间为y?2.
xx231
[生2]:第一次剩下绳子的,第二次剩下绳子的
12111(?2),第三次剩下绳子的
842x11?1?(?3),那么剪了x次以后剩下的绳长为x米,所以绳长y与x之间的关系为y???. 22?2?（学生说完后在屏幕上展示这两个式子） [师]:这两个关系式能否都构成函数呢?
[生]:每一个x都有唯一的y与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数. [师]:（接着把y?x2打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数
?1?y?2,y???在形式上与函数y?x2有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).
?2?xx[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而y?x2的自变量在底上.
?1?x[师]:那么再观察一下y?2,y???与函数y?ax有什么相同点?
?2?[生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.
[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型y?ax就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）
定义:一般地,函数
y?a(a?0,a?1) 叫做指数函数,它的定义域是R.
概念解析1:
[师]:同学们思考一下为什么y?a中规定a?0,a?1?(引导学生从定义域为R的角度考虑).（先把a?0，a?0，a?1显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）
x0[生]:⑴若a?0,则当x?0时,a?0 没有意义.
xxx⑵若a?0,则当x取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:(?2)??2.
x⑶若a?1,则a?1,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了.
12所以,我们规定指数函数的底a?0,a?1.
[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:
问题１．已知函数y?(3a?2)为指数函数，求a的取值范围．（屏幕上给出问题）
[生]:由于3a?2作为指数函数的底因此必须满足：
x2
2??3a?2?0?a?2?? 即a|a?且a?0? ?3???3???3a?2?1?a?0?概念解析２:
[师]:我们知道形如y?ax（a?0,a?1）的函数称为指数函数．通过观察我们发现： ⑴a前没有系数，或者说系数为１．既1?a； ⑵指数上只有唯一的自变量x；
⑶底是一个常数且必须满足：a?0,a?1．
那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）
xxx问题2．⑴y?(0.2)，⑵y?(?2)，⑶y?e，⑷y?()
2xx13x⑸y?1x，⑹y?2?3x，⑺y?3?x，⑻y?2x?x
[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．
?1?[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为y?3???．
?3??xx[师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．
2、学生活动2：指数函数图像与性质探究 下面研究指数函数的图像和性质。
⑴指导同学利用几何画板软件画出指数函数y?a(a?0,a?1,x?R)的图像，在作图过程中，赋予a多个不同的值，通过观察，讨论能得到几类不同的指数函数图像，因此可以将指数函数按照什么标准分为几类?
通过画图像和观察图像，可将指数函数按照底数a的范围分为两类，即a?1和0?a?1。 ⑵请同学利用几何画板在同一坐标系中画出函数
x11y?2x，y?10x，y?()x，y?()x的图像。如图1所示：
2103
图1
?1? [师]：好，下面我请两个同学用几何画板分别作出y?2x，y???和y?10x，
?2??1?y???的函数图象．
?10?[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？(填表1) [生１]:函数的定义域都是一切实数R，而且函数的图象都位于x轴上方．
[师]:函数的图象都位于x轴上方与x有没有交点？随着自变量x的取值函数值的图象与x轴是什么关系？
[生１]:没有．随着自变量x的取值函数的图象与x轴无限靠近．
[师]:即函数的值域是：(0,??)．那么还有没有别的性质？
xx?1??1?[生２]:函数y???、y???是减函数，函数y?2x、y?10x是减函数．
?10??2?[师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此有说明是在哪个范围内．又0?xx11,?1，1?2,10那么上述的结论可以归纳为： 210xx[生２]:当0?a?1时，函数y?a在R上是减函数，当a?1时，函数y?a在R上是
增函数．
[师]:很好，请坐！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？
[生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数y?a当自变量x取０时，函数值恒等于１．
[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1)，和底a的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x之间有什么关系？
4
x
[生3]:由图象可以发现：
当0?a?1时，若x?0，则0?f(x)?1；若x?0，则1?f(x). 当a?1时，若x?0，则f(x)?1；若x?0，则0?f(x)?1.
[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?
?1??1?[生4]: 函数y?2x与y???的图象关于y轴对称,函数y?10x与y???的图象
xx?2??10?关于y轴对称,所以是偶函数.
[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?
[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质. [师]:由此我们得到一般的结论, 函数y?ax与y?a?x的图象关于y轴对称. [师]:在作图的过程中，你还发现了指数函数的其它性质吗？ [生1]:底数越大，函数翘起的一边越接近y轴。 [师]:很好，大家说对吗？
[生2]:不对，当a?1时，正确。当0?a?1时，相反。
[师]:对，我们可以把它们归纳为在第一象限内，沿逆时针方向底数变大。
[师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.
0?a?1 a?1 图 象 性 定义质 域 R R 5