第一章 函数、极限 连续
1.求下列函数的定义域：
1(1)y??x?1；
ln(1?x2)(2) y?1[x?a].
2.讨论下列哪些函数相同： (1) 2lnx与lnx2； (3) x与xsgnx. 3.讨论下列函数奇偶性：
(1) y?ln(x?1?x2)； (2) y?x2e4. (1) 设f(x?2)?x2?2x?5，求f(x?2)； (2) 设f(ex?1)?x，求f(x)； (3)设f(x?1x)?x2?1x2 (2) x2与x；
x；
，求f(x).
?1?5.设f(x)??0??1?x?1求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数的图形。 x?1，g(x)?ex，
x?16.计算下列各极限： (1) limx?5x?1； (x?h)2?x2hx?122
x?3 (2)；limx?5x?6x?8x?1531?x232x?32
(3)； limh?0 (4)；lim(x?1?11?x)
(5)； limx??2x?x?12 (6)；limx?x?1x?32x??
(7); lim4x?3x?17x?5x?1nx??3 (8); limxsinx?01x
(9); limn???k?1kn2 (10); lim(n??11?2?12?3???1n(n?1))
7.计算下列各极限：
(1) lim(2x?5)50(2x?1)30x??(x?3)20; (2) limx?1x?12x??sinx?1x?12;
(3) lim4x?3x?12x???; (4) limx?1?x?1x;
x?0(5) limt?2tt?1t?12;
8.如果 limx?ax?b1?x3x?1?5，求a与b的值。
29. 已知lim(x?x??ax?bx?11?x2)?2，求a与b的值。
10.计算下列极限： (1) limsinaxx；
x?0 (2) limtan3xx?0(3) limsinx?sinax?axn(5)； lim2sinn
n??2x?a； (4) lim2x1?cos2xsinxxx??2；
；
x?0 (6)；limx??
2.计算下列极限： (1) lim(n??nn?12(3) lim(1?3x)x；
x?01)n；
(2) lim(1?x??2
(4) lim(n??x2n?1)x； )n；
2sinx2n?3x?0(5)； lim(cosx?02x)sin2x (6) lim(1?3x)
11.利用极限存在准则，证明下列极限： (1) lim2?2?2??2?2; ???????????n111????)?1. (2) lim(222n??n?1n?2n?nn??(3)设x1?1,x2?1?x11?x1，?,xn?1?xn?11?xn?1，证明：数列{xn}收敛，并求其极限
12.当x?0时，如果以x为基本无穷小，指出下列各无穷小的阶，且找出等价无穷小： (1) sin2x；
(2) x?x；
2
24班级： 姓名： 学号： ·3·
(3) 1?cos(5)
123x；
3 (4) x?1?1?x22；
ln(1?x2).
13.利用等价无穷小代换求极限：
tan3xtan6x(1) lim；
x?0 (2) limasinxx?1x?0e?1?a?0,a?0?；
(3) lime?e1?cosx?x； x
x?0 (4)；lim1?cos?x(1?x)2
x?1(5)； limx?xcosxsinx?tanxsin(1?x)lnxx?0 (6)；lim1?xsinx?1ex2x?0
?1(7)； limx?1
14.下列函数在哪些点处间断；说明这些间断点的类型。若是可去间断点，则重新定义函数在该点的值，使之连续。 (1) f(x)?(3) f(x)?x?12xtan?x1； (2) f(x?|x|；2 (4) f(x)?； xnx1?x1?e1?x(5)f(x)?lim?x 12nn??1?x?xsinx?021)在???,???内连续，应当怎样选择数a？ 15.设f(x)???x，要使xf?(xx2??0?xx?a?f()?x16.确定a,b，使?ax?b0?x?1 在(??,??)内连续。
?sinxx?0?*?eaxx?0,x??2k?(k?N)?1?cosx?bx?017.设函数f(x)??，问a,b为何值时，
?12x?0?[lnx?ln(x?x)]?x f(x)在它的定义域内的每点处连续。
18.证明方程x?3x?1至少有一个根介于1和2之间。
19.证明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一个正根，并且它不超过a?b. 20.若f(x)在闭区间[a,b]上连续，a?x1?x2???xn?b，则在[x1,xn]上必有?使
f(x1)?f(x2)??f(xn)f????.
n21.证明若f(x)在(??,??)内连续，且limf(x)存在，则f(x)在(??,??)内有界。
x??5x1；
3
22.若f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?a,f(b)?b，证明在(a,b)内至少有一点?，使f(?)??.
23.设函数f(x)在闭区间[0,2a]上连续，且f(0)?f(2a)，证明在[0,a]上至少存在一点?，使f(?)?f(??a).
7.函数f(x)在区间(a,b)内连续，并且lim(a,b)内有零点。
f(x)???,limf(x)???.证明f(x)在区间
x?a?0x?b?0
第二章 导数与微分
1. 若函数f(x)在a可导，计算 (1)limf(h)?f(a)h?ahf(a)?f(a?h)hh?a; ;
(2)lim;
.
h?0(3)limf(a?2h)?f(a)h?0(4)limf(a?2h)?f(a?h)2hh?02. 求导数: (1) y?x;
(2) y?x35x.
1x35(3) y?1x (4) y? x3. 求下列曲线在指定点的切线及法线方程 (1) y?1x2在点(1,1)处; (2) y?cosx在点(?1,)处. 32(3) 求y?x在点(?1,0)处的切线
4. 若函数f(x)在a处可导，计算limn[f(a?n??1)?f(a)]. n5. 如果f(x)为偶函数，且f?(x)存在，证明f?(0)?0. ?x?16. 计算函数f(x)??1?ex??0x?0x?0 在点x=0的左右导数.
?x27. 计算函数f(x)???ax?bx?cx?c在c的右导数，当a、b取何值时，函数f(x)在c处不
连续、连续及可导？
4
班级： 姓名： 学号： ·5·
8. 已知f(x)???sinx?xx?0x?0,求f?(x).
9. 求下列函数的导数: (1) y?x?3x?6;
4232
x?x?1(2) y?;
532
2(3) y?3x?3x?1; x(4) y?(1?x)(1?2x); (7) y?xlnx; (10) y?x2ex; (13) y?
(5) y?x221?x; (6) y?xsinx?cosx; (9) y?x4x(8) y?xtanx?cotx; (11) y?xarcsinx; (14) y?x2arccosx;
(17) y?;
(12) y?(15) y?arctanx; xlnx; xsinxx; ?xsinxx?1(16) y?;
x?1
5x?3x?4x?12.
10. 求下列函数的导数: (1) y?(2x2?3)2; (4) y?x?x?
x;
(2) y?x2?a2; (3) y?1?x; 1?x(5) y?2sinx?cos3x; (8) y?cot25x;
(6) y?tan(ax?b); (9) y?lnsinx; x?ax22(7) y?sin2xcos3x;
(10) y?lncosx; (12) y?e4x?5;
2
(11) y?ln(x?xx?a)?22;
(13) y?ae(16) y?(
2;
(14) y?(arcsinx)2; (17) y?11?x2 (15) y?arctan(x2?1); (18) y?(sinx)cosx;
xx); 1?xxlnx1?sinx;
2 (19) y?.
f(x)?g(x)的导
2211. 设函数f(x)和g(x)可导，且f(x)?g(x)?0，试求函数y?数.
12. 设f(x),g(x)可导，求下列函数y的导数(1) y?f(x)
2dydx
2 (2) y?f(sin5
x)?g(cos2x)