关于弦振动的求解方法
李航
一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程
达朗贝尔方程解无界的定解问题
11x?atu(x,t)?[?(x?at)??(x?at)]??(?)d? <达朗贝尔公式>
22a?x?at在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为
2??2u2?u?a, ???x???,t?0???t2?x2 ??u|??(x),?u|??(x)t?0t?0??t?由达郎贝尔公式，解在点(x,t)的值由初始条件在区间[x?at,x?at]内的值决定，称区间[x?at,x?at]为点(x,t)的依赖区域，在x?t平面上，它可看作是过点(x,t)，斜率分别? 为的两条直线在x轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题
2??2u2?u?a?f(x,t)， ???x???,t?0 (1) ???t2?x2 ??u?u|??(x), |t?0??(x) (2)x?0??t?1a令u(x,t)?U(x,t)?V(x,t)，可将此定解分解成下面两个定解问题：
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?(I) ??2u2??a2?u2， ???x???,t?0 ??t2?x???u|x?0??(x), ?u
?t|t?0??(x) ??2u2?a2?u?f(x,t)， ???x???,t(II) ??2?0 ??t2?x???u|x?0?0, ?u
?t|t?0?0 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：
U(x,t)?12[?(x?at)??(x?at)]?1x?at2a?x?at?(?)d?。
对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设?(x,t,?)是柯西问题
???2?2??a2??， t?? ??t2?x2????|x???0, ?? ?t|t???f(x,?) 的解(??0)，则V(x,t)??t0?(x,t,?)d?是问题(II)的解。二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法
?2??2u?a2?u, 0?x?l,t?0（1） ???t2?x2?u(0,t)?u(l,t)?0（2） ????u|（3） t?0??(x),u1|t?0??(x)
设u(x,t)?X(x)T(t)，代入方程（1）得：
X''(x)T'(t)X(x)?aT(t) 2
上式右端不含x，左端不含t，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为??，则有：
X''(x)??X(x)?0 （4） T'(t)?a2?T(t)?0 （5）
所齐次边界条件可得：
X(0)?0,X'(l)?hX(l)?0 （6）
从而特征值问题:
?X(x)??X(x)?0 ?'?X(0)?0,X(l)?hX(l)?0对?的取值分三种情况??0，??0,??0进行讨论。
这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。 非齐次条件分离变量法
分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。
分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如：
?utt?a2uxx?f(x,t)??u(0,t)?g1(t),u(l,t)?g2(t) ??u(x,0)??(x)?ut(x,0)??(x)?
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设u(x,t)?V(x,t)?W(x,t)，通过适当选取W(x,t)使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使W(x,t)满足：
W1(0,t)?g1(t)，W1(l,t)?g2(t)
即可。
小结：分离变量法的解题步骤 a， 令U(x,t)?X(x)?T(t) b， 将试探解带入泛定方程。 c， 将等式两边同时乘以
程。
d， 由边界条件，将X（x）方程解出需要讨论本征值?（??0，
??0,??0）三种情况，获得本正值和本征函数。
1，进行分离变量，获得两个常微分方2auxxe， 写出T(t)解的形式后与X（x）一起构成U(x,t)通解形式。 f， 由初始条件确定待定系数。
三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法 傅里叶级数解法
2??2u2?u, 0?x?l,t?0?（1）?2?a2?t?x??（2） ?u(0,t)?u(l,t)?0????（3）?u|t?0??(x),u1|t?0??(x)??B（t）设U(x,t)?V(x,t)?W(x,t)（4），其中构造V(x,t)?A（t）让其满足
（2）则：
V(x，t)??（t）-?（t）tx-?（t）?Asin?t?（5） t 4
2??2WA?22?W?sin?t, 0?x?l,t?0?（6）?2?a2t?t?x??（7）所以对W(x,t)有：?W(0,t)?W(l,t)?0?
???（8）?u|t?0??(x),u1|t?0??(x)?令
W(x,t)??T（t）sink?0k?kx??（9）t
1W(x,t)??T（kt）sink?0?（9）式带回到（6）式解出：
kx??（9）t
1T（?-kt）2hsin?t 2n?1整理出W(x,t)与V(x,t)构成U(x,t)的解，再带回到（3）是求出待定系数。 小结：一般傅里叶级数的求解步骤
1、 令U(x,t)??T（t）Xk?0k?k(x)，其中展开基Xk(x)为对应齐次函数本征函
数（由边界条件决定）
2、 将U(x,t)??T（t）Xk?0k?k将f（x，t）也按Xk(x)展为(x)带入泛定方程后，
傅里叶级数，比较等式两边，获得T（t）的常微分方程。
k3、 将U(x,t)??T（t）Xk?0k?k得到关于T（t）方程的定解条(x)带入初始条件，
k件。
4、 解关于T的常微分方程。 （t）k5、 将T解的通解形式带回到U(x,t)?（t）k?T（t）Xk?0k?k（此时即(x)中即可。
为方程的解）
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