哈工大2010年春季学期
现代控制理论基础 试题A答案 题号 满分值 得分值 一 10 二 10 三 10 四 10 五 10 六 10 七 10
班号 姓名 作业分 10 实验分 10 总分 100 八 10 卷面分 80 一．（本题满分10分）
如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，?1与?2分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当?1??2时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力f(t)作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin???，cos??1。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。
【解】
（1）对左边的质量块，有
???f?Lcos??k?L?sin??sin???Lcos??MgLsin? ML2?111211222对右边的质量块，有
???k?L?sin??sin???Lcos??MgLsin? ML2?2122222在位移足够小的条件下，近似写成：
???f?kL??????Mg? ML?112124???kL??????Mg? ML?21224
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哈尔滨工业大学 现代控制理论基础 (A卷答案) 班号： 姓名：
即
?????1?g?kf?k ???1??2?4M2ML?4ML????k???k?g?? ?21??24M?4ML?（2）定义状态变量
?，x??，x??? x1??1，x2??32142则
?1?x2?x?g?kf?k?x?2?????x1?x3??4M2ML?4ML? ??x?x4?3?kg??k?4?x1????x3?x4M??4ML??或写成
0??1???k?xg?????x??2???4ML???????x?3??0????4??k?x??4M??10???x??0?k100????1????x2??4M??2ML?f ?001??x3??0?????x4?g????k???0????0??0???4ML???0
二．（本题满分10分）
??Ax，其中A?R2?2。 设一个线性定常系统的状态方程为x?e?2t??2??1?若x(0)???时，状态响应为x(t)???2t?；x(0)???时，状态响应为
??1???1???e??1??2e?t?x(t)???t?。试求当x(0)???时的状态响应x(t)。
?3???e?【解答】系统的状态转移矩阵为Φ(t)?eAt，根据题意有
?e?2t??1?x(t)???2t??eAt??
??1???e??2e?t??2?x(t)???t??eAt??
??1???e?合并得
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?e?2t??2t??e求得状态转移矩阵为
?e?2tAte???2t??e2?2e?t?At?1 ?e???t??e???1?1??1?e?2t2e?t??12????2t??t???e???1?1???e2e?t???1?2? ??t???e??11?
??e?2t?2e?t???2t?t?e?e?1?当x(0)???时的状态响应为
?3??2e?2t?2e?t? ?2t?t?2e?e??1???e?2t?2e?tx(t)?e?????2t?t?3??e?eAt?2e?2t?2e?t??1? ?2t?t???2e?e??3???7e?2t?8e?t? ???2t?t??7e?4e? 三．（本题满分10分）
已知某系统的方块图如下，
回答下列问题：
（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；
（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k的取值范围。 【解答】（1）系统的状态空间表达式为
?1???2k??x1??1???x???????x???1?u?x10??2?????2?? ??y?10?x1???????x2??（2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数k?3且k?0。
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哈尔滨工业大学 现代控制理论基础 (A卷答案) 班号： 姓名：
四．（本题满分10分）
离散系统的状态方程为
?x1(k?1)???41??x1(k)??0??x(k?1)???2?3??x(k)???1?u(k)
??2????2??（1）是否存在一个有限控制序列?u(0)u(1)?u(N)?，使得系统由已知的初始状态
x1(0)，x2(0)转移到x1(N?1)?0，x2(N?1)?0？试给出判断依据和判断过程。 （2）若存在，求N的最小值及控制序列?u(0)u(1)?u(N)?。
【解答】
（1）由题意，
??41??0??01?G???，h??1?，Qc??hGh???1?3?，rankQc?2，由系统能控性的定义可2?3??????知：存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。
（2）由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的u(0)，u(1)，使得x(2)?0，即N的最小值为1。
根据状态方程x(k?1)?Gx(k)?hu(k)进行递推如下： x(1)?Gx(0)?hu(0)
x(2)?Gx(1)?hu(1)?G?Gx(0)?hu(0)??hu(1)?G2x(0)?Ghu(0)?hu(1)?0， 由上面最后一步可得
Ghu(0)?hu(1)??G2x(0)
即
?u(1)?hGh??????G2x(0)
?u(0)??u(1)?Qc???G2x(0) ??u(0)??u(1)???4010???4010??x1(0)??12??QGx(0)?x(0)?c?u(0)???187???187??x(0)? ???????2?即u(0)??18x1(0)?7x2(0)，u(1)??40x1(0)?10x2(0)。 五．（本题满分10分）
对下列系统
?01??0????xx???u ???6?5??1?试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数??0.707；阶跃响
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应的峰值时间等于3.14秒。 【解答】
假设状态反馈控制律为u?k1??x1?k2???，代入状态方程得闭环系统
?x2??01??0??x??x????k1k2?x ???6?5??1?1??0??x ???6?k1?5?k2?闭环特征多项式为
f(?)?det??I?A???6?k1?1??2??5?k2???6?k1
??5?k2?2t???，?n?2，期望特征多根据题意的要求，??0.707?，P22?n1??项式为
2f*(?)??2?2??n???n??2?2??2
根据多项式恒等的条件可得：
?5?k2?2 ??6?k1?2解得
?k1?4 ??k2?3状态反馈控制律为u?k1??x1?k2????4x1?3x2。
?x2? 六．（本题满分10分）
设系统的状态空间表达式为
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