山东大学《数学分析III》期末复习参考题
题 号 得 分 一 二 三 四 总 分
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、若f(x,y)?ye?xcos(y?x2)，则fx (x,x2)= ______________. 2、设f(x)有连续导数，L是单连通域上任意简单闭曲线，且则f(x)=______________.
3、函数z?arctan______________.
4、设D：0≤x≤a,－a≤y≤a,当n为奇数时,??xmyndxdy=______________.
Dx?y1?xy在点（－1，2）沿a??1,?3?方向的方向导数是
?5、设曲线x?2t?1,y?3t2?1,z?t3?2在t??1对应点处的法平面为S，则点(?2,4,1)到S的距离d?______。
?46、若曲线x?ln(1?t2),y?arctgt,z?t3在点(ln2,?,?1)处的一个切向量与ox轴
正向夹角为锐角，则此向量与oy轴正向夹角的余弦是______。
y??7、设D：0≤x≤1,0≤y≤2(1－x),由二重积分的几何意义知???1?x??dxdy=_____.
2?D?228、函数z?x?y在闭域?(x,y)x?0,y?0,x?2y?2?上的最大值是______。
9、设函数F(u,v,w)具有一阶连续偏导数，且Fu(3,?3,?6)?3,Fv(3,?3,?6)??2,Fw(3,?3,?6)?1，曲面F(x,xy,xyz)?0过点P(3,?1,2)，则曲面过点P的法线与yz平面
的交角为_______。
10、设
，根据二重积分的几何意义，??1?rrdrd?=_____.
D2二、选择题（共 5 小题，20 分）
1、设C为包围住原点的任意光滑简单闭曲线，则(A)因为
=
，所以I=0；
(B)I=2π； (C)因为(D)因
≠,
在C内不连续，所以I不存在； ，所以沿不同的C，I值不同。
2、曲线x?e2t,y?lnt,z?t2在对应于t?2点处的切线方程是（ ）
x?e2e44(A) ?y?ln21?z?44(B)
x?e2e44?y?ln212?z?42
(C)
x?e2e44y??12?ln2?z4122
2
2
(D
x?ee44y??12?ln2?z412
3、设C是沿圆周x+y=R逆时针方向的一周，则式计算得( )
用格林公
4、设函数F(x,y,z)在有界闭域Ω上可积，F(x,y,z)=f1(x,y,z)+f2(x,y,z)，则( )
(A) 上式成立 (B) 上式不成立
(C) f1(x,y,z)可积时成立 (D) f1(x,y,z)可积也未必成立 5、设u?f(t)，而t?e?ex?y，f具有二阶连续导数，则
?u?x22??u?y22=（）
(A)(e2x?e?2y)f(t)?(e?e\x\x?y)f(t) )f(t) )f(t) )f(t)
''''(B) (e(C) (e(D) (e2x?e?e?e?2y)f(t)?(e?e)f(t)?(e?e)f(t)?(e?e\x\x?y2x?2y?y2x?2y?y三、计算题（共 3 小题，30 分）
1、求函数u?xy?3yz?zx在点（1，2，0）处沿与直线的方向导数。
x?12?y?2?1?z3平行方向
2、??x2dS，?是x2?y2?z2?R2在第一卦限部分
?3、设z?(ysinx)y，求
?z?y。
四、证明题（10 分）
试证极限lim
xy24443x?0y?0(x?y)不存在。
《数学分析III》期末试卷07答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、?x2e?x 2、x2
+c 3、
?1
10104、0. 5、2 6、?1
417、
13
8、zmax?z(2,0)?4
9、?3
10、16?
二、选择题（共 5 小题，20 分）
BCA CD
三、计算题（共 3 小题，30 分）
1、解：a????2,?1,3?,cos???214,cos???114,cos???314?u?u?x(1,2,0)?(y?z)(1,2,0)?2?y(1,2,0)?(x?3z)(1,2,0)?1
?u?z(1,2,0)?(3y?x)(1,2,0)?5(8分)
所以
?u???21?3??a?2?14?1??????14???5?14? ?(4分)
??1814 (10分)
2、解：?在xoy面上的投影域D:x2?y2?R2,x?0,y?0(4分) 又dS?Rdxdy，(6分)
R2?x2?y2?2R32??x2dS?R?d??rcos?42dr???00R2?r6R(10分)
3、解： lnz?y[lny?lnsinx]
zy?z[ln(ysinx)?1]
?(ysinx)y[ln(ysinx)?1]
四、证明题（10 分）
4证：由于limxy4x?0y?0(x2?y4)3?0 44
limxy1x?y2(x2?y4)3?limy12y?0(2y4)3?8 y?044 所以limxyx?0243y?0(x?y)不存在。
（6分） （10分）
（4分）
（8分）
（10分）