?j 1 0 0 0 0 0 1 3 2 1 3/4 7/2 7/4 [4] －2 －1 －4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 －5/2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 －1 0 0 1 －1/4 1 3/2 －1 －1/2 1/2 0 0 1 0 0 0 1/4 1/2 1/4 1 0 3/2 3/4 － － x7 x3 x2 －3/2 －1/2 1 1/2 5/2 0 1/2 3/2 －1/2 －1/2 －3/2 －1/2 3/8 1/8 1/4 ?j x1 x3 x2 －3/8 －1/8 1/4 1/8 1 －1/4 3/8 1 －1/2 －1/4 －1/4 －1/8 －3/8 0 0 0 ?j 377*X?(,,,0,0,0,0,0,0)T 故，第一阶段的最优解为
442第二阶段的单纯形表如下：
cj 2 －1 2 0 0 0 cB 0 0 0 XB b 3/4 7/2 7/4 x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 0 1 0 0 x4 －1/4 x5 3/8 x6 1/8 1/4 ?i x1 x3 x2 －1/2 －1/4 －1/4 －1/8 －3/8 5/4 －3/8 －9/8 ?j 非基变量x4的检验数为正，但其系数向量为负，故原问题为无界解。
例7：已知下述线性规划
max z?2x1?3x2?x1?2x2?x3?8?s.. t??4x1?x4?16 ?4x2?x5?12??xj?0,j?1,2,,5的最优基为B*?[P1,P5,P2]，求其最优单纯形表。 解：由B*?[P1,P5,P2]，可知：
?102??11/40?B*?1?[P?1??01,P5,P2]???400???21/21? ?014????????1/2?1/80??故由单纯形表的行变换过程可知：
?01/40?B*?1[b, A]????21/21???812100??41001/41640010???400?21/2?2?1/80??????1/???1204001????2011/2?1/8原问题的最优单纯形表为：
cj 2 3 0 0 0 cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 x1 4 1 0 0 1/4 0 0 x5 4 0 0 －2 1/2 1 3 x2 2 0 1 1/2 －1/8 0 ?j 0 0 －3/2 －1/8 0
0??0???1例8：已知某线性规划的最优单纯形表为：
cj 2 3 0 0 0 cB 2 0 3 XB b 4 4 2 x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 0 －2 1/2 －3/2 x4 1/4 1/2 －1/8 －1/8 x5 0 1 0 0 x1 x5 x2 ?j 其中，x3,x4,x5为松弛变量，求该线性规划的初始单纯形表。
解：由x3,x4,x5为松弛变量，可知它们在约束条件中的系数矩阵为单位矩阵，故在最优单纯形表中，它们的系数矩阵为B*?1，即：
1/40??0?102??，可得B*??400?
B*?1???21/21???????1/2?1/80???014??由：
1/40??812100??102??4100??400?21/21???1640010?B*[B*?1b, B*?1A]??400????????014????2011/2?1/80????1204001??可知最初单纯形表为：
cj 2 3 0 0 0 cB 0 0 0 XB b 8 16 12 x1 1 4 0 2 x2 2 0 [4] 3 x3 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 x5 0 0 1 0 x3 x4 x5 ?j
例2.3 已知线性规划
maxz?3x1?4x2?x3?x1?2x2?x3?10 ?2x?2x?x?16?123?x?0,j?1,2,3?j的最优解为X*?(6,2,0)T，试利用互补松弛定理，求对偶问题的最优解。 解：原问题的对偶问题为：
minw?10y1?16y2?y1?2y2?3?2y?2y?4?12??y1?y2?1??y1,y2?0
將X*?(6,2,0)T代入原问题的约束条件，可得：
*??6?2*2?10 ? y1?0 （1） ?*??2*6?2*2?16 ? y2?0又由
***?x1?0 ? y1?2y2?3?***?x2?0 ? 2y1?2y2?4 （2） ?***x?0 ? y?y?1112?**将结论（1）和（2）结合起来，可解得y1?y2?1。
例2.3 已知线性规划问题
max z?2x1?x2?5x3?6x4?2x1?x3?x4?8 ?s..t?2x1?2x2?x3?2x4?12?x?0, j?1,2,3,4?j**其对偶问题的最优解为y1?4、y2?1，试用对偶理论求解原问题的最优解。
解：原问题的对偶问题为：
min w?8y1?12y2?2y1?2y2?2??2y2?1s..t??y 1?y2?5??y1?2y2?6??y1,y2?0将对偶问题的最优解代入约束条件，可得：
??2*4?2*1?2 ? x*1?0??2*4?1 ? x*2?0 （1）
?4?1?5 ? x* ?3?0?4?2*1?6 ? x*4?0又由
???y*1?0 ? 2x***1?x3?x4＝8??y*? 2x****2?0 1?2x2?x3?2x4＝12将结论（1）和（2）结合起来，可得：
???x**3?x4＝8????**12 ，解得 ?x*3?4x? 3?2x4＝?x*4?4即原问题的最优解为X*?(0,0,4,4)T。
2） （