2016-2017学年高中数学 第3章 变化率与导数 2 导数的概念及其
几何意义课后演练提升 北师大版选修1-1
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知函数y＝f(x)在x＝a处可导，则limA．f(a) C．f(h)
解析： 令Δx＝h－a，则h＝a＋Δx 故：lim
f?h?－f?a?
等于( )
h→ah－aB．f′(a) D．f′(h)
f?h?－f?a?f?a＋Δx?－f?a?
＝lim＝f′(a)．
h→aΔx→ah－aΔx答案： B
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s C．5 m/s
Δss?3＋Δt?－s?3?解析： ∵＝
ΔtΔt1－?3＋Δt?＋?3＋Δt?－?1－3＋3?
＝ ΔtΔt＋5Δt＝＝Δt＋5
Δt∴s′(3)＝lim答案： C
π2
3．下列点中，在曲线y＝x上，且在此点处的切线倾斜角为的是( )
4A．(0,0)
B．(2,4)
Δs＝lim(Δt＋5)＝5.
Δt→0ΔtΔt→0
2
2
2
2
B．6 m/s D．8 m/s
?11?C.?，?
?416?
2
2
?11?D．?，? ?24?
Δy?x＋Δx?－x解析： k＝lim＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x.
Δx→0ΔxΔx→0Δx→0Δxπ
∵倾斜角为，∴k＝1.
411
∴2x＝1，x＝，y＝，故选D.
24答案： D
1
4．直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点A(1,3)，则b的值为( ) A．3 C．5
B．－3 D．－5
3
解析： 由题意切点A(1,3)在直线y＝kx＋1上． ∴3＝k＋1，得斜率k＝2，
?x＋Δx?＋a?x＋Δx?＋b－x－ax－b又∵y′＝lim
Δx→0Δx＝3x＋a＝k＝2 即3x＋a＝2
∴把x＝1代入上述方程得a＝－1，再把切点A(1,3)坐标和a＝－1代入曲线方程得b＝3.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数y＝2x＋4x＋1，则y′|x＝－1＝______，y′|x＝3＝______. 解析： 当x＝－1时，
Δy2?－1＋Δx?＋4?－1＋Δx?＋1－[2×?－1?＋4?－1?＋1]＝ ΔxΔx＝2Δx
Δy当Δx→0时，→0，
ΔxΔy当x＝3时，＝16＋2Δx，
ΔxΔy当Δx→0时，→16.
Δx答案： 0 16
6．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．
3?1＋Δx?－4?1＋Δx?＋2－1
解析： y′|x＝1＝lim Δx→0Δx＝lim(2＋3Δx)＝2.
Δx→0
22
2
2
2
23
3
3
所以直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0 答案： 2x－y＋4＝0
三、解答题(每小题10分，共20分) 7．利用导数的定义求函数y＝
1
x在x＝1处的导数．
2
解析： Δy＝1
1＋Δx－11
＝∴
1－1＋Δx－Δx＝，
1＋Δx1＋Δx·?1＋1＋Δx?Δy1＝－. Δx1＋Δx?1＋1＋Δx?
Δy1当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－. Δx21
∴f′(1)＝－. 2
1
8．求经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．
x解析： 可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)． 11
－x0＋Δxx0－Δx由y′|x＝x0＝lim＝lim Δx→0Δx→0Δx·?x0＋Δx?·x0Δx＝lim
－11
＝－2.
Δx→0x0?x0＋Δx?x0
1
故所求直线方程为y－y0＝－2(x－x0)．
x0
由点(2,0)在所求的直线上，得x0y0＝2－x0， 1
再由P(x0，y0)在曲线y＝上，得x0y0＝1，
2
x联立可解得x0＝1，y0＝1， 所以直线方程为x＋y－2＝0. ?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)已知曲线y＝x＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
Δy?x＋Δx?＋1－?x＋1?
解析： ＝＝2x＋Δx
ΔxΔx则y′＝lim
Δy＝lim(2x＋Δx)＝2x，
Δx→0ΔxΔx→0
2
2
2
设切点为P(x0，y0)，
则切线的斜率为k＝f′(x0)＝2x0， 由点斜式可得，
所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0) 又因为切线过(1，a)，则y0＝x0＋1，
3
2
所以a－(x0＋1)＝2x0(1－x0) 即x0－2x0＋a－1＝0， 因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)－4(a－1)＞0，解得a＜2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是{a|a＜2}．
2
2
2
4