习题三
一、填空题
3441.设X与Y两随机变量, 且P(X?0，Y?0）=，P(X?0）?,P（Y?0）?, 则
777P(max（X，Y）?0）? 5/7 . 2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为
Y X 1 2 3
则关于X的边缘分布律为 .
1 0 2 3 1 61 61 61 121 60 1 61 12X 1 1 1/4 2 1/2 3 1/4
（X，Y）3．若的联合分布律为 X Y 1 2 ?,?应满足条件是 ????1 1/6 1/3 2 1/9 ? 3 1/18 ? 1 .若X与Y相互独立则?= 2/9 ,?= 1/9 ； 34.设X与Y独立同分布, 且X的分布律为P(X?0)?0.5,P(X?1)?0.5, 则随机变量Z?max{X,Y}的分布律为 P(Z=0)=0.25, P(Z=1)=0.75 ；
5.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f?x,y????10?x?1,0?y?1
其他?0则概率P?X?0.5,Y?0.6?=____0.3____。
?Ae?(2x?3y),x,y?06. 设 (X,Y) 联合概率密度为f(x,y)??则系数A= 6 ；
其他?0,?cx2y,x2?y?1,7.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f?x,y???，则c=
其它.?0,21/4 。
8. 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为
1
?4.8y(2?x)0?x?1,0?y?xf(x,y)??其它?0
x???4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)0?x?1则关于X的边缘概率密度是fX(x)??0. ?其它?09. 设随机变量X和Y相互独立，且X在区间?0,2?上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，则P?X?Y?1??1?1. 2e10. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则
P?max{X,Y}?1?= 1/9 . 11. 若X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),相互独立,k1X?k2Y服从分布为
22N(k1?1?k2?2,k12?12?k2?2).
2212．已知X1,X2,?,Xn独立且服从于相同的分布函数F(x)，若令
??max(X1,X2,?,Xn)，则?的分布函数F?(x)=Fn(x).
二、选择题
1.设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，其边缘分布函数FX(x)是（B）
F(x,y);?B?limF(x,y);?C?F(x,0);?D?F(0,x). ?A?ylim???y???2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,
则（A）
11,i,j?1,2,?6 . （B）P{X?Y}?.
363611（C）P{X?Y}?. （D）P{X?Y}?.
22（A）P{X?i,Y?j}?3．设随机变量X与Y相互独立，它们的概率分布依次为 X p -1 1/2 1 1/2
Y p -1 1/2 1 1/2 则下列各式正确的是（C） （A）X=Y. （B）P{X=Y}=0 . (C) P{X=Y}=1/2. (D) P{X=Y}=1.
?6x2y,0?x?1,0?y?14.设（X，Y）的联合概率密度函数为f(x,y)??,则下列结
其他?0，论中错误的是（B）.
2
（A）P{(X,Y)?G}?（C）P{X?Y}???f(x,y)dxdy. （B）P{(X,Y)?G}???6xGG2ydxdy.
?10xdx?06x2ydy.
（D）P{(X?Y)}?x?y??f(x,y)dxdy.
?1/?,x2?y2?15. 设二维随机变量?X,Y?的联合概率密度为f?x,y???，则X,Y
其它?0,满足（ C ）
（A）独立同分布. （B）独立不同分布. （C）不独立同分布. （D）不独立也不同分布.
6. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从N?0,1?和N?1,1?，则（B）
11. （B）P(X?Y?1)?. 2211（C） P(X?Y?0)?. （D） P(X?Y?1)?.
22（A）P(X?Y?0)?7. 设X与Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX?x?,FY?y?，则
Z?min(X,Y的分布函数为（)D）
（A）FZ?z??FX?x?. （B）FZ?z??FY?y?.
（C）FZ?z??minFX?x?,FY?y?. （D）FZ?z??1???1?FX?x?????1?FY?y???. 8.若X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),且X与Y相互独立,则（C）
（A）X?Y~N(?1??2,(?1??2)). （B）X?Y~N(?1??2,?1??2). （C）X?2Y~N(?1?2?2,?1?4?2).（D）2X?Y~N(2?1??2,2?1??2). 9.已知X~N(?3,1)，Y~N(2,1)，且X,Y相互独立,记Z?X?2Y?7,
222222222??则Z~（A）
（A）N(0,5) . （B）N(0,12). （C）N(0,54). （D）N(?1,2). 10.设X1,X2,?,Xn相独立且都服从N(?,?),则下式成立的是（B）
21?2). （A）X1?X2???Xn. （B）(X1?X2???Xn)~N(?,nn（C）2X1?3~N(2??3,4??3). （D）X1?X2~N(0,?1??2).
222 3
三、计算下列各题
1. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以X和Y分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出X和Y的联合概率分布律。
1111C10C9C2C4510 解. P(X?0,Y?0)?11?, P(X?1,Y?0)?110?,. 166C12C1166C12C111111C10C2C2C101 P(X?0,Y?1)?11?, P(X?1,Y?1)?111?C12C1166C12C1166
2. 袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一
球，以X，Y，分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，求（1）二维随机变量
?X,Y?的联合概率分布律;（2）X，Y的边缘分布律。
解：（1）X，Y的取值范围为0,1,2，故
11C3C111P?X?0,Y?0??13?,PX?1,Y?0?,PX?2,Y?0?,????1C6C6463611P?X?0,Y?1??,P?X?1,Y?1??,P?X?2,Y?1??0,391P?X?0,Y?2??,P?X?1,Y?2??0,P?X?2,Y?2??0,9 X Y 0 1 2 （2）
0 1/4 1/3 1/9 1 1/6 1/9 0 1 5/18 2 1/36
2 1/36 0 0
X
0 Y P 0 4/9 1 4/9 2 1/9 P 25/36 3. 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能取一个整数值，求（1）(X,Y)的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律。
解：由题意?X?i,Y?j?,其中i?1,2,3,4,j?i,j为整数， 则由概率的乘法公式有
111P?X?i,Y?j??P?X?i?P?Y?jX?i????,i?1,2,3,4,j?i.
4i4i因此
X Y 1 2 1 1/4 0 2 1/8 1/8 3 1/12 1/12 4 1/16 1/16 p?j 25/48 13/48 4
3 4 0 0 1/4 0 0 1/4 1/12 0 1/4 1/16 1/16 1/4 7/48 3/48 1 pi? X P ?1 1/4 4. 已知随机变量X,Y的概率分布： 0 1/2 1 1/4
Y P 0 1/2 1 1/2 且P(XY?0)?1.（1）求X,Y的联合分布，（2）问X,Y是否独立？为什么？. 解 因为 P(XY?0)?1, 所以,有 P(X??1,Y?1)?P(X?1,Y?1)?0,
（1）设X,Y的联合分布为
Y X 0 1 Pi. -1 P11 0 1/4 0 P21 P22 1/2 1 P31 0 1/4 P．j 1/2 1/2 1 则 p11?0.25,p31?0.25,p22?0.5, 由于p21?p22?0.5,故 p21?0.5?0.5?0 因此,(X,Y)的联合分布律为
Y X 0 1 -1 1/4 0 0 0 1/2 1 1/4 0
(2) 由于p21?0?0.5?0.5, 故 X与Y不相互独立.
5. 假设随机变量X和Y相互独立，都服从同一分布：
X P 求概率P{X?Y}．
0 1/4 1 1/2 2 1/4
Y P 0 1/4 1 1/2 2 1/4 解 注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等．由全概率公式及X和Y相互独立，可见
P{X?Y}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?2} ?P{X?0}P{Y?0}?P{X?1}P{Y?1}?P{X?2}P{Y?2} 9?1??1??1? ??????????．?2??4??2?16
6. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为
222 5