一、 单因素方差分析的计算步骤
假定实验或观察中只有一个因素（因子）A,且A有m个水平，分别记为A1,A2,?Am,在每一种水平下，做n次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做xij表示在第j个水平下的第i个试验值?i?1,2,?n;j?1,2,?m?。结果如下表3.1： 表3.1 单因素方差分析数据结构表
观测值 水平 A1 1 2 A2 ?? ?? ?? Am x1m x2m ? x11 x12 x22 ? x22 ? ? n
xn1 xn2 ?? xnm 为了考察因素A对实验结果是否有显著性影响，我们把因素A的m个水平A1,A2,?Am看成是m个正态总体，而xij?i?1,2,?n;j?1,2,?m?看成是取自第j总体的第i个样品，因此，可设xij~Naj,?,i?1,2,?n;j?1,2,?m。
可以认为aj????j,?j是因素A的第j个水平Aj所引起的差异。因此检验因素A的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验：
?2?H0:a1?a2???am??或者 H0:?1??2????m?0
具体的分析检验步骤是： （一） 计算水平均值
令xj表示第j种水平的样本均值，
xj??xi?1njijnj
式中，xij是第j种水平下的第i个观察值，nj表示第j种水平的观察值次数 （二）计算离差平方和
在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。
首先，总离差平方和，用SST代表，则，
SST???(xij?x)2
其中x???xnij,它反映了离差平方和的总体情况。
其次，组内离差平方和，用SSE表示，其计算公式为：
?2?SSE?????xij?xj??
j?i?
其中xj反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。 最后，组间平方和，用SSA表示，SSA的计算公式为：
SSA???xj?x??njxj?x
用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。 根据证明，SST,SSE,SSA之间存在着一定的联系，这种联系表现在：
??2??2SST?SSE?SSA
因为：
???xij?x????xij?xj??xj?x
2?2????2????xij?xj????xj?x?2???xij?xj?xj?x
在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，
??2????(xij?x)2???(xij?xj)2???(xj?x)2
即 SST?SSE?SSA
（三）计算平均平方
用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对SST来说，其自由度为n?1，因为它只有一个约束条件，即
??(xjij?x)?0。对SSA来说，其自由度是m?1，这
里m表示水平的个数，SSA反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：
?n(xj?x)?0
对SSE来说，其自由度为n?m，因为对每一种水平而言，其观察值个数为nj，该水平下的自由度为nj?1，总共有m个水平，因此拥有自由度的个数为m(nj?1)?n?m。
,SSE之间的自由度也存在着关系，即 与离差平方和一样，SST,SSAn?1?(m?1)?(n?m)
这样对SSA，其平均平方MSA为：
SSA m?1 对于SSE，平均平方MSE为：
SSEMSE?
n?mMSA?
（四）方差分析表
由F分布知，F值的计算公式为：
F?组间方差MSA?
组内方差MSE
为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表3.2：
表3.2 方差分析表 方差来源 组间 组内 总差异
离差平方和（SS） 自由度（df） 平均平方（MS） F值 SSA SSE SST m?1 n?m n?1 MSA MSE MSA/MSE （五）作出统计判断
对于给定的显著性水平?，由F分布表查出自由度为(m?1,n?m)的临界值F?，如果F?F?，则拒绝原假设，说明因素对指标起显著影响；如果F?F?，则接受原假设，说明因素的不同水平对试验结果影响不显著。