3.2立体几何中的向量方法
第3课时 空间向量与空间角
【教材分析】
本节内容选自人民教育出版社课程教材研究所编著的《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》（A版）第三章第二节。在此之前教材安排了空间向量及其运算这一节，将《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》（A版）中所学的平面向量及其运算推广到了空间，这为本节内容的教学作了必要的铺垫。
另一方面，虽然立体几何知识在《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》（A版）的第二章中已经作了系统的学习，但是按照传统方法解立体几何问题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，而学生往往由于这些能力的不足造成解题的困难。用向量方法处理立体几何问题，把对空间图形的研究从“定性推理”转化为“定量计算”，为解决立体几何中某些用综合法解决时技巧性较大、随机性较强的问题提供了一种通法，有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，实质上为解决立体几何问题开辟了一条新的途径。同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的课程基本理念。
因此，本节内容实质上是对前面所学习的立体几何与空间向量知识的延展与深化。立体几何中的向量方法这节内容既体现了“数”与“形”的结合，是代数与几何知识的交汇点，又提供了一种解决立体几何问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
本节内容包括空间向量与平行关系、空间向量与垂直关系、空间向量与空间角、空间向量与空间距离等四部分内容。纵观历年的高考试题，利用空间向量求空间角是每年高考必考的内容，重点考察向量方法的应用。因此，本小节内容也是高考的焦点与热点内容。
【教学目标】 一、 知识与技能：
1.掌握运用向量方法解决空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题；
2.正确区分向量夹角与空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的关系；
3.体会向量方法在研究几何图形问题中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。
二、过程与方法：
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通过对空间几何图形的探究，经历将立体几何问题转化为向量问题的过程，感知用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.同时对比解决立体几何问题的不同方法，认识它们的特点和联系，能灵活的选择解决具体问题。
三、情感、态度与价值观：
通过对立体几何中的向量方法的学习，激发学生对数学的好奇心和求知欲，
培养学生良好的学习习惯和思维品质，培养学生勇于探索和勤于思考的科学精神，引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学涵养和综合素质。
【教学重点】
掌握用向量方法解决有关立体几何中空间角的一般方法 【教学难点】
建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题以及平面法向量的方向与二面角的关系
【教学方法】
采用启发式讲解，互动式讨论等授课方式，充分发挥学生的主体性与教师的主导性，营造生动活泼的课堂教学氛围。
【学习方法】观察发现、探索研究
【教学手段】借助多媒体幻灯片辅助教学，增强课堂教学的直观性 【教学过程】
一、复习引入，温故知新
1.空间中两条直线所成的角的定义及范围是什么？ 2.直线与平面所成角的定义及范围是什么？
3.二面角定义是什么？二面角的大小是如何刻画的？角的范围是什么？ 4.如何运用向量方法表示这些空间角？
[设计意图:设置问题和学生一起回顾空间角的定义，并且通过直线的方向向量及平面的法向量复习线线角，线面角及面面角的公式，拉开本节课教学的序幕，自然的引出本节课的课题。]
二、 明确概念，探究新知 1.空间中直线与直线所成的角
??a 如图1,，设直线l,m的方向向量分别为，b，直线l,m的夹角为
?(0≤?≤?2)，则 cos??cos?a,b?图1
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[设计意图：引导学生将求两条异面直线所成角转化成求两个向量所成角，
? cos? a并且会用 cos ? , b ? 解决问题，但要注意异面直线所成角的范围与两个向量所成角范围的不同。]
2.空间中直线与平面所成的角 平面?所成的角为?(0≤?≤
??如图2，设直线l的方向向量分别为a，平面?的法向量分别为u，直线l与
?2)，则
sin??cos?a,u?
图2
[设计意图：引导学生能将线面角转化为求线线角，即求斜线的方向向量与平面的法向量所成的角，进而转化为求两个向量所成角。在讲解过程中，关注学生是否能理清线面角的正弦即是线线法向量夹角余弦的绝对值，
? cosa ,u即 sin ? ? ? 。]
1. 平面与平面所成的角——二面角 (1)方向向量法
如图3-1，设二面角为??l??的平面角为?，则cos??cosAB,CD
??
图3-1
（2）法向量法
??如图3-2，设平面?与平面?的法向量分别为n1,n2，平面?与平面?所 二面角的平面角为?(0????)，则 cos??cos?n1,n2?cos???cos?n1,n2?
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图3-2
法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量的夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。
[设计意图:引导学生能将二面角的平面角转化为线线角，即转化为求平面的法向量所成的角，进而使问题又归为第一类问题。但要明确平面法向量的方向与二面角的关系，这是本节课的难点。]
三、 典例分析，归纳方法
例1.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?AC,BC?CA?CC1,取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1和AF1所成的角的余弦值.
[设计意图:一方面解决课题引入中的问题，一方面体现空间向量的应用。引导学生联想传统的几何法-—平移法，化异面为共面，构造三角形利用余弦定理而求解；再用向量法建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，从而求得对应向量的坐标，代入公式，由于学生所取向量的方向不一样，求出的结果可能不同，由师生共同比较两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角的区别，以突破本节课的难点之一。
[规律方法]
运用几何法求异面直线的夹角时，需要作平行线先将异面直线的夹角转化为平面角，再通过解三角形来求解，过程较为复杂；
运用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和推理过程，只需对相应的向量进行代数运算即可。
例2.如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，求B1C1与平面AB1C所成角的正弦值.
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[设计意图:从学生熟悉的正方体中获得一个新问题，学生开始时可能会感到茫然不知所措，所以教师将通过提出问题带领学生体验几何法与坐标法，建系是本节课的一个难点，同时也是关键。]
[规律方法]
运用向量法求直线与平面的夹角，需要注意直线的方向向量与平面的法向量的夹角并不是所求线面角，它们的关系是 . sin??cos?a,u?例3.如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F,求二面角C-PB-D的大小.
[设计意图:引导学生尝试不同的方法解题，感知方法的多样性与灵活性。] [规律方法]
运用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，将问题转化为计算二面角两半平面内垂直于棱的两条直线的方向向量的夹角或二面角两半平面法向量的夹角，但需要注意观察图形或判断法向量的方向来确定所求二面角与其相等还是互补.
四、练习巩固、熟练知识
0901.在三棱锥P-ABC中， PA⊥ABC,PA=AB=AC, ? BAC ? ，E为PC中点 ,
求PA与BE所成角的余弦值.
?2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2， BAC ? 90 ,AB=AC=1, 求AC1与截面
0BB1C1C所成角的余弦值.
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