第一章 离散时间信号系统与Z变换
§ Z变换
? Z变换的定义及收敛域 【习题】
1. 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少不同的收敛域。
1?1?2 X(z)?4z (1?1254z?)(1?4z?1?38z?2)【分析】
有限长序列的收敛域为 ： 0?z?? , n1?n?n2 特殊情况有 ： 0?z?? , n1?0 0?z?? , n2?0 右边序列的收敛域为 ： Rx??z?? , n?n1 因果序列的收敛域为 ： Rx??z?? , n?n1?0 左边序列的收敛域为 ： 0?z?Rx? , n?n2 特殊情况有 ： z?Rx? , n?n2?0 双边序列的收敛域为 ： Rx??z?Rx?有三种收敛域 ： 圆内 、 圆外 、 环状（ z?0 ， z?? 要单独讨论 1
）第一章 离散时间信号系统与Z变换
解：对X(Z)的分子和分母进行因式分解得
(1?X(Z)?(1?14Z?212Z?1)(1?12Z1212?112Z?1)34Z?1)(1?)(1??1)1??(1?12jZ?1Z
?1)(1?jZ)(1?34Z?1)X(Z)的零点为：1/2，极点为：j/2，-j/2，-3/4 ∴ X(Z)的收敛域为：
(1) 1/2 < | Z | < 3/4，为双边序列，见图一 (2) | Z | < 1/2，为左边序列，见图二 (3) | Z | > 3/4，为右边序列，见图三
图一 图二 图三
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第一章 离散时间信号系统与Z变换
? Z反变换 【习题】
2. 有一右边序列 x(n)，其 z 变换为X(z)?(1?112z?1
?1)(1?z)(a) 将上式作部分分式展开(用 z?1表示)，由展开式求 x(n) 。
(b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 x(n) ,并说明所得到的序列
与(a)所得的是一样的。
【注意】不管哪种表示法最后求出 x(n) 应该是相同的。
解：(a) 因为X(z)?1??112z?1?21?z?1
且x(n)是右边序列
?1?所以 x(n)?(2???)u(n)
?2?n(b)
X(z)?(z?z122)(z?1)3z?1212 ?1?2(z??1
)(z?1) ?1?z?2?21z?12n?1?则 x(n)??(n)???u(n?1)?2u(n?1)?2??1? ?(2???)u(n)?2?n
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第一章 离散时间信号系统与Z变换
? Z变换的基本性质和定理 【习题】
3. 对因果序列，初值定理是x(0)?limX(z)，如果序列为 n?0时x(n)?0，问相应的定理是什么？
z??讨论一个序列 x(n)，其z变换为：
X(z)?7121??52z1924?1z?1?z?2X(z) 的收敛域包括单位圆，试求其 x(0) 值。
【分析】
这道题讨论如何由双边序列Z变换X(z)来求序列初值x(0)，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，〖它们各自由X(z)求x(0)表达式是不同的〗，将它们各自的x(0)相加即得所求。
解：当序列满足0n?0,x(n)?0时,有:X(z)??n???x(n)z?n
?2 ?x(0)?x(?1)z?x(?2)z所以此时有：limX(z)?x(0)z?0????若序列x(n)的Z变换为：
7X(z)?121? ?52z?z1924?1z?17?12z2?1924z12)(z)?z?2(z?2)(z?z?4（ z?2）3（ z?12?X1(z)?X）122
?X(z) 的极点为 z1?2,z2?由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为：
12?z?2
则 x1(n) 为 n?0 时为有值左边序列，x2(n) 为因果序列：x1(0)?limX1(z)?limz?0z?0?0（4z?2）z（3z?1312?）13z
x2(0)?limX2(z)?limz??z???x(0)?x1(0)?x2(0)? 4
第一章 离散时间信号系统与Z变换
4. 有一信号y(n)，它与另两个信号x1(n)和x2(n)的关系是：
y(n)?x1(n?3)?x2(?n?1)
?1??1?其中 x1(n)???u(n) ，x2(n)???u(n)
?3??2?nn已知 Z[au(n)]?n11?az?1 ，z?a，利用 z 变换性质求 y(n) 的 z 变换 Y(z) 。
【分析】
(1) 注意移位定理 ：?1 x(n)?X(z) x(?n)?X(z x(n?m)?zm)-mX(z) x(?n?m)?zX(z?1)
（2） y(n)?x1(n)*x2(n) 则 Y(z)?X1(z)X2(z) 。解：根据题目所给条件可得：
? x1(n)???11?12z?1Z x2(n)???11?13z?1
?? ?x1(n?3)?1?Zz312 z?z?112
?1 x2(?n)???X2(z)?Z11?13z z?1?13
?? x2(?n?1)?Zz1??113 z?3
z而 y(n)?x1(n?3) ? x2(?n?1)
所以 Y(z)?Z?x1(n?3)??Z?x2(?n?1)?
z1?3?12?z?1z1??113
z??3z3(z?3)(z?12
) 5