第4讲 二次根式
一. 考纲解读
了解：平方根、算术平方根的概念和性质
理解：二次根式的概念，二次根式的非负性,二次根式的性质，二次根式的加、减、乘、除运算法则。 掌握：二次根式的加、减、乘、除运算。 二、命题规律 考点 二次根式的概念、二次根式的加、减、乘、除运算法则 二次根式的求值 二次根式的条件求值 3 选择、填空 2％ 考试内容 二次根式的概念 二次根式的加、减、乘、除运算法则 分值 2 2 题型 选择、填空 解答 比重 1.3％ 1.3％ 考情分析：本部分内容是初中的基础内容，也是中考的重点内容，既可单独考查，也可以与后面的其他知识综合命题考查，有一定的难度。
预测2014年本部分的考试内容仍然同往年一样，不会有变化！
三、知识梳理 （一）基本知识点 1.平方根的概念与性质
（1）平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即：若x2?a,则x叫做a的平方根，记作?2a，其中根指数2可以省略。2a表示正数a的正的平方根，?2a表示正数a 的负的平方根。
（2）平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0有一个平方根，是0本身；
③负数没有平方根；
④a?|a|，(a)2?a(a?0)。
22.算术平方根的概念与性质
（1）算术平方根：正数a 有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a 的算术平方根，记作：2a （2）算术平方根的性质：
①因为正数均有一正一负两个平方根，所以正数均有算术平方根；
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②0的算术平方根是0
注意：三种不同表达式的区别：
?a表示a的平方根，a表示a 算术平方根，?a表示a 的平方根的相反数。
3.立方根的概念与性质
（1）立方根：如果一个数的立方根等于a，这个数就叫做a的立方根（也称数a的三次方根）即：若x3?a，则x 叫做a 的立方根，或称x 叫做a 的三次。表示为3a。 （2）立方根的性质：
①正数有一个正的立方根； ②负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0； ④3?a??3a； ⑤(3a)3?a；a?a
334.二次根式
（1）二次根式：形如a（a ≥0）的式子叫做二次根式。 （2）最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能够开方的因数或因式；
（3）将二次根式化成最简二次根式的一般步骤：
①把根号下的带分数或小数化成假分数或者真分数； ②被开方数是多项式的进行因式分解；
③使被开方数不含分数；
④将被开方数中能开得尽的因数或因式进行开方； ⑤化去分母中的根号 ⑥约分。
（4）同类二次根式
将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
（5）识别同类二次根式的方法：
①要在理解的基础上记住最简二次根式的概念，判断时只需要看被开方数；
②要注意当被开方数是多项式时，要先分解因式，找一找有没有开得尽方的因式和因数。
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（6）二次根式的性质：
①把根号下的带分数或小数化成假分数或者真分数；
①a?0；
②(a)2?a(a?0)；
a(a≥0),
③a?|a|=
-a(a＜0)；
④ab?2a?b(a?0,b?0)；
⑤aa?(a?0,b?0) bb5.二次根式的运算
（1）分母有理化：把分母中的根号化去，使分母变成有理数，这个过程就叫做分母有理化。 （2）二次根式的加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式后，再合并同类二次根式。 （3）二次根式的乘法：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 乘法法则：a?b?ab(a?0,b?0)
（4）二次根式的除法：两个二次根式相除，括号里面被开方数相除。 除法法则：aa?(a?0,bbb0)
（5）二次根式的混合运算法则：先乘方后乘除，最后加减；若有括号，则先算括号里面的。 注意：二次根式运算的结果一定要化成最简二次根式。 （二）重难点
重点：平方根、算术平方根的概念及计算，利用二次根式的概念和性质及运算法则进行运算与化简。 难点：算术平方根，二次根式性质的应用。 四、基础自测
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1. （2013江苏?苏州）若式子 A．x>1
x?1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）． 2C．x≥1
D．x≤1
B．x<1
2. （2013山东?临沂）计算48?9A．?3
B．3
1的结果是（ ） 3 C．?113 3 D．113 3
3. （2013四川?宜宾）二次根式(-3)2的值是( ) A．－3 B．3或－3 C．9 D． 3
4.（2013?四川南充）0.49的算数平方根的相反数是（ ） A．0.7 B．﹣0.7 C．±0.7 D．0
5.（2013?江苏
泰州）下列计算正确的是（ ）
A．43?33=1 B．2?3=5 C．21=2 D．3?22=52 2第4页（共18页）
6.（2013?东营）16的算术平方根是（ ） A． ?4
B． 4
C． ?2
D． 2
7. （2013?山
东滨州） 计算：30－(3)2+(??3)－27+3?2． 3【分析】根据零指数幂的性质和二次根式的基本性质以及绝对值的定义代入计算即可.
【点拨】本题考查了实数的运算、零指数幂及二次根式的基本性质和绝对值的定义，属于基础题，应重点掌握.
8. （2013?湖北孝感）先化简，再求值：
111?(?)，其中x?3?2，y?3?2． x?yyx第5页（共18页）