信号与线性系统总复习

信号与线性系统总复习 信号分析 一、 信号的时域分析

f(t)f(k)1、 常见信号 ①单位冲激函数：?(t) 定义： ?? ??????(t)dt?1 ???(t)?0t?0抽样性：

f(t)??(t)?f(0)??(t) ?????(t)?f(t)dt??????(t)?f(0)dt?f(0)?t)????(t)dt?f(0)②单位阶跃函数：?( 定义：

?1t?0 ?(t)??t?0 ?0

阶跃与冲激的关系： ???(t)?d?(t) ?dt

???(t)??t???(?)d?③斜变函数：

R(t)?t?(t)

斜变与阶跃的关系：

? ??(t)?dR(t) ?dt??R(t)??t???(?)d?④指数函数：e??t?(t) ⑤门函数：

G?(t)

⑥余弦函数：cos?0t ⑦正弦函数：

sin?0t

??T(t)?⑧冲激序列：??(t?nT)n???

2、 信号的运算：

f1(t)?f2(t) f

1(t)?f2(t)3、 信号的变换：移位: f(t?t0)反折:

f(?t)展缩: f(at)倍乘:

af(t)4、 卷积：

f1(t)?f2(t)?????f1(?)f2(t??)d?

?

f1(k)?f2(k)??f1(i)f2(k?i)i???性质：延时特性：f1(t?t1)?f2(t?t2)?f(t?t1?t2) 微积分特性：

f1(t)?f2(t)?[?t??f1(?)d?]?f2(t) (t)t

?df1dt????f2(?)d?二、 信号的频域分析（傅立叶变换分析法）

1、 定义： F(j?)?????f(t)e?j?tdt f(t)?1

??j?)ej?t2???F(d?2、 性质：设f1(t)?F1(j?)；f2(t)?F2(j?)；

f(t)?F(j?)

①线性：

a1f1(t)?a2f2(t)?a1F1(j?)?a2F2(j?)

②对称性：F(jt)?2?f(?) ?j?t0③延时：f(t?t0)?F(j?)e ④移频：

f(t)e?j?0t?F(j??j?0) f(at)?1?变换

：aF(ja)⑤尺度；

f(at?b)?1?jba??aeF(ja)

⑥奇偶特性：若f(t)为实偶函数，则F(j?)也为实偶函数；

若f(t)为实偶函数，则F(j?)也为实偶函数；

df(t)?)F(j?)⑦

时域微

分：

dt?(j；

dnf(t)ndtn?(j?)F(j?)

t⑧时域积分：

???f(?)d???F(0)?(?)?1j?F(j?)

(?jt)f(t)?dF(j?)⑨频

域微分

：

d?；

n(?jt)nf(t)?dF(j?)d?n ?f(0)?(t)?1?F(?)d?⑩频域积分：

jtf(t)????

⑾卷积定理：f1(t)?f2(t)?F1(j?)F2(j?)

f1(t)?f2(t)?12?F1(j?)?F2(j?)

3、 常见信号的傅立叶变换

?(t)?1

?(t)???(?)?1j?

cos?0t??[?(???0)??(???0)] sin?0t?j?[?(???0)??(???0)]

e??t?(t)?1??j? ??G??sin?(t)??Sa(2)??2??2

sgn(t)?2j?

??2f(t)???1?t?t??2????????)??sin???Sa(????2??0t???2?????2??

???T(t)???(t?nT)????(?)????(??n?)??2?n???n???T

4、 周期信号的频谱

①性质：离散性，谐波性，收敛性 ②级数展开：

f(t)?a?0 2??(ancosn?t?bnsinn?t)n?1 ??a0A

2??ncos(n?t??n)n?1 1??

?2?Anejn?t n???? ??cnejn?t n??? a2n? T?t1?Tf(t)cosnt?tdt?1An?Ane?j?n b2 T?t1?Tn?f(t)sinnc1?n?t?tdt12An ? At1?Tn?2A2n?an?b2n T?f(t)e?jn?tdtt1 1bn c1?Tjn?tn?tT?f(t)e?dt?n?arctgta1n

?③频谱：An与?(?n?)之间的关系图称频谱图；An与?(?n?)之间的关系图称为振幅频谱图； ?n与?(?n?)之间的关系图称为相位频谱图；

时域频域 周期离散

离散周期

时域有限频域无限 时域无限频域有限

5、 帕色伐尔定理

???f(t)?2dt?1(j??2???F???)2d?

6、 抽样定理 ①频带有限信号 ②满足关系：

fs?2fm

三、 信号的复频域分析（拉普拉斯变换分析法）

1、 定义：

F

(s)????st0f(t)edt f(t)?1??j?F(sst

2?j???j?)eds

2、 性质：

①线性:a1f1(t)?a2f2(t)?a1F1(s)?a2F2(s) ②时移:f(t?t?st00)?(t?t0)?F(s)e

③频移:

f(t)es0t?F(s?s0)

f(at)?1F(s④尺度变换:aa)

⑤

时

域

微

分

:

dnf(t)n?1f(0?)?sn?2dtn?snF(s)?sf?(0?)???f(n?1)(0?)

tf(?)d??1⑥时域积分:

???sF(s)

tf(t)??dF(s)⑦复频域微积分:

ds；

1?tf(t)??F(s)dss

⑧初、终值定理：f(0?)?limsF(s)s??；（F(s)为真分式）

f(?)?lims?0sF(s)

⑨卷积定理：f1(t)?f2(t)?F1(s)F2(s) f1(t)?f2(t)?12?jF1(s)?F2(s)

3、 常见信号的拉氏变换、收敛区

?(t)?1， ?(t)?1?tse?(t)?1

，

s?a

，

tn?n!sn?1sin?t?? ，

s2??2

，

cos?t?ss2??2

4、 反变换

a.部分分式展开法

F(s)?k1s?s?k2??kn1s?s??2s?sn f(t)?(ks1t?ks2tsnt1e2e????kne)?(t)

b.留数法

nf(t)??Resii?1

s处的留数

Resst①单根

ii?[F(s)e(s?si)]s?si ②p重根

si处

的

留

数

p?1Res1[dstpi?(p?1)!sp?1F(s)e(s?si)]s?si

四、（离散）信号的Z域分析

?F(Z)?1、 定义：

?F(K)z?kK???

2、 性质：

① 线性线性：a1f1(k)?a2f2(k)?a1F1(z)?a2F2(z) ② 移序：单边z变换

n?1f(k?n)?znF(z)?zn?f(k)z?kk?0

f(k?n)?(k?n)?z?nF(z)

双边z变换

f(k?n)?znF(z) f(k?n)?z?nF(z)

akf(k)?F(z③ 尺度变换：

a) kf(k)??zd④ z域微分特性：dzF(z) ⑤ 卷

积

定

理

：

f1(k)?f2(k)?F1(z)F2(z)

f11(t)?f2(t)?2?jF1(s)?F2(s)

⑥ 初、终值定理：

f(0)?limz??F(z)

f(?)?limz?1(z?1)F(z)

3、 常见序列的Z变换

?(k)?1?(k)?z ，z?1

，

?k?zz??k?z，

(z?1)2

4、 反Z变换

a. 长除法

b. 部分分式法

F(z)B0z?z?B1z???B2????Bn1z??2z??n

F(z)?BB1zB2zBnz0?z???1z??????2z??n

f(k)?Bk?Bk0?(k)?(B1?1?B2?k2???n?n)?(k)

c.

留数法

nf(k)??Resii?1

zi处的留数

Resi?[F(z)zk?1①单根(z?zi)]z?zi ②p重根

zi处

的

留

数

p?1Res1(z)zk?1(z?zpi?(p?1)![dzp?1Fi)]z?zi系统分析

卷积+三大变换

（时域、频域、复频域、Z域） 一、 系统的时域分析

1、 描述：

a. 连续系统--微分方程 e (t)r(t) h(t) b. 离散系统—差分方程

e(k)

h(k)y(k)

2、模拟框图

a.连续系统

3、全响应的求解 连续： r(t)?rzi(t)?rzs(t)离散：

y(k)?yzi(k)?yzs(k)a. 零输入响应rzi(t)、yzi(k)

特征方程：

?n?c?1n?1?n???a1??a0?0

(???1)(???2)?(???n)?0 ?n?cn?1n?1????a1??a0?0 (???)(???)?(???)?

12n0特征根：

?1,?2,?,?n?,

1,?2?,?n零输入响应：

r?t?2t?tzi (t)?c11e?c2e???cnen

ykkkzi(k)?c1??c2?2???cn?n代定常数C由初始条件决定：

rzi(0),rzi?(0)??r(n?1)zi(0)y(0),y(1)??y(n?1) ?r(0)?c1?c2???c

?n ?r?(0)?c1?1?c2?2???cn??n

?? ??r(n?1)(0)?c1?n?11?c2?n?12???cn?n?1n

?r(0)??11?1??c ?1??r?(0)????????2??nc ?????1??2?????????? ??r(n?1)(0)?????n?1n?1n?1???1?2??n??cn ? ?c1??11??11??r(0)? ??????n ?c2???2???r?(0)?????1??????????? ?1?n?1?? ?c??n?1n???1?n?2?n??r(n?1)(0)?? A?1?1

A(Aij)nnb. 零状态响应

rzs(t)、

yzs(k)

m H(p)?bmp???b1p?b0 pn?an?1n?1p???a1p?a0

h(t)rzs(t)?h(t)?e(t)bmH(S)?mS???b1S?b0Sn?an?1n?1S???a1S?a0

4、解的分解

零输入响应+零状态响应 自然响应+受迫响应 暂态响应+稳态响应

二、系统的频域分析 1、频域系统函数

H(j?)?Rzs(j?)

E(j?)2、系统特性

H(j?)?H(j?)ej?(?)幅频特性： H(j?)

相频特性：

?(?)3、信号通过线性系统不产生失真的条件

时域： r(t)?Ke(t?t0)

频域： H(j?)?Ke?j?t0

三、系统的复频域分析法 1、微分方程的拉氏变换分析法 利用拉氏变换的微分特性：

dnf(t)n?2dtn?sF(s)?sn?1f(0?)?snf?(0?)???f(n?1)(0?)

把微分方程：

变为代数方程，其过程为：

dkr(t)kk?1?k?2①

dtk?sR(s)?sr(0)?sr?(0?)???r(k?1)(0?)?skR(s)?Pk(s)

P)?sk?1r(0?)?sk?2r?(0?)???r(k?1)k(s(0?)是与初始条

件有关的关于s的k次多项式 ②

dle(t)ldtl?sE(s)?sl?1e(0?)?sl?2e?(0?)???e(l?1)(0?)?slE(s)?Ql(s)

Qsl?1e(0?)?sl?2e?(0?)???e(l?1)l(s)?(0?)?0 因为

e(t)是有始信号

：

e(0?)?e?(0?)???e(l?1)(0?)?0

dle(t)slE(s)所以：dtl?

③把以上结果代入微分方程得：

snR(s)?Pn?1n(s)?an?1sR(s)?an?1Pn?1(s)???a1sR(s)?a1P1(s)?a0R(s)

?bmmsE(s)???b1sE(s)?b0E(s)

(sn?an?1sn?1???am1s?a0)R(s)?M(s)?(bms???b1s?b0)E(s)

D(s)R(s)?M(s)?N(s)E(s)

n其中：

D(s)?s?a?1n?1sn???a1s?a0

N(s)?bmms???b1s?b0

M(s)?Pn(s)?an?1Pn?1(s)???a1P1(s)

R(s)?N(s)D(s)E(s)?M(s)D(s)?Rzs(s)?Rzi(s)

可求得全响应： r(t)?rzi(t)?rzs(t)

2、电路S域模型等效法 ……

3、系统函数与系统的稳定性

H(s)?bmsm???b1s?b0sn?an?1n?1s???a1s?a0m?bms???b1s?b0(s??1)(s??2)?(s??n)

若极点

?1,?2??n均在s平面的左半平面，则系统稳定。

四、离散系统的Z域分析法

1、差分方程的Z变换分析法 根据z变换的移序特性：

n?1y(k?n)?zn??Y(z)?y(k)z?k????k?0?

可看出方程变换的过程中初始条件自然代入，可把零输入和零状态响应一并求得。

2、零状态响应的Z域分析法