1.已知椭圆C：xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为22，其中左焦点F(-2,0).
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值.
?c2,??a222??xy?a?22,?解：（1） 由题意，得?c?2, 解得?∴椭圆C的方程为??1.
84??b?2.?222a?b?c.???（2） 设点A、B的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0)，
2?x2y??1,?由?8消y得，3x2+4mx+2m2-8=0, Δ=96-8m2＞0,∴-23＜m＜24?y?x?m.?3.
∴
?x0?x1?x22??2m32
,y0?x0?m?2m3m3.
m3)?1，?m??2∵点M(x0,y0)在圆x+y=1上，?(?2
)?(2355.
0)． 2.已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(，21 （1）求抛物线C的方程； （2）已知直线y?k(x?12)与抛物线C交于A、B两点，且FA?2FB，求k的值；
（3）设点P是抛物线C上的动点，点R、N在y轴上，圆(x?1)2?y2?1内切于?PRN，求?PRN的面积最小值．
解：（1）设抛物线C的方程为y?2px(p?0),由
2p2?12，即p?1，所以抛物线C的方程为y?2x
12?2(x2?12)即x1?2x2?122 （2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由|FA|?2|FB|得故x1? ①
1?2y?k(x?)2k?222?0故x1?x2?2?1 ② 又由?2得kx?(k?2)x?k4?y2?2x?14
x1x2? ③
解①②③构成的方程组得x1?1,x2?14,k??223
2242又由??(k?2)?k?4?4k?0，即?1?k?1，所求得的k适合，因此所求得的k的值为?223
（3）设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c)，且b?c?直线PR的方程为(y0?b)x?x0y?x0b?0
1
22?圆(x?1)?y?1内切于?PRN， 由则圆心（1，0）到直线PR的距离为1，
?|y0?b?x0b|(y0?b)?x022?1化简得(x0?2)b?2y0b?x0?0
2
同理可得(x0?2)c2?2y0c?x0?0，由于x0?2，所以b,c为方程(x0?2)x2?2y0x?x0?0的两根，
?b?c?
2y02?x012，bc?x02?x0x02，?(b?c)?24x0?4y0?8x0(x0?2)222?4x022(x0?2)
?S?PRN?b?cx0?x0?2?(x0?2)?4x0?2?4?8，
当且仅当x0?4时取等号，所以?PRN的面积最小值为8．
123.已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点(1,)．
23(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)直线y?kx?2与椭圆E相交于A，B两点，在OA上存在一点M，OB上存在
?????1????一点N，使得MN?AB，若原点O在以MN为直径的圆上，求直线斜率k的值．
2解：(Ⅰ) 依题意，可设椭圆E的方程为
xa22?yb22 ∵ ?1(a?b?0)．
ca?122222， ∴ a?2c， b?a?c?3c．
∵ 椭圆经过点(1,)，∴ 椭圆的方程为
23x24?y23?1．
(Ⅱ) 记A,B两点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
?y?kx?2?2222 消y，得(4k?3)x?16kx?4?0． ?xy??1?3?424∵ 直线与椭圆有两个交点，∴ ??(16k)?16(4k?3)?0，∴ k?214．
由韦达定理 x1?x2?16k4k?32，x1x2?44k?32．
?????????∵ 原点O在以MN为直径的圆上，∴ OM?ON，即OM?ON?0． ?????????????1????∵ MN?AB，M在OA上，N在OB上∴ OA?OB?0，
2????????又OA?(x1,y1)，OB?(x2,y2)，
????????2∴ OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?2)(kx2?2)?(k?1)x1x2?2k(x1+x2)+4
?(k?1)
244k?32?2k16k4k?32+4=0．
2
∴ k2=2243?1222， ∴ k=?233．
4.已知椭圆C:xa?yb31?1 (a?b?0)经过点M(1,),其离心率为.
22 （Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点. 求O到直线距离的l最小值. 解：（Ⅰ）由已知，e?322a?ba222?14，所以3a2?4b2， ①
1a2 又点M(1,)在椭圆C上，所以?94b2?1 ， ②
由①②解之，得a?4,b?3. 故椭圆C的方程为
22x24?y23?1.
(Ⅱ) 当直线l有斜率时，设y?kx?m时，
?y?kx?m,则由?2 消去y得，(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0， 2?xy??1.?3?4??64km?4(3?4k)(4m?12)?48(3?4k?m)?0222222， ③
(x2,y2)、(x0,y0)，则： 设A、B、P点的坐标分别为(x1,y1)、x0?x1?x2??8km3?4k2,y0?y1?y2?k(x1?x2)?2m?6m3?4k2 ，
由于点P在椭圆C上，所以
222222x042?y032?1.
22 从而
16km2(3?4k)?12m(3?4k)?1，化简得4m?3?4k，经检验满足③式.
又点O到直线l的距离为：
3d?|m|1?k2?4?k2
1?k2?1?14(1?k)2?1?14?32
当且仅当k?0时等号成立
当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而P点为(?2,0),(2,0)，直线l为x??1，所以点O到直线l的距离为1
3
3所以点O到直线l的距离最小值为2
5.已知点C（4，0）和直线l:x?1, P是动点，作PQ?l,垂足为Q，且(PC?2PQ)?(PC?2PQ)?0,设P点的轨迹是曲线M。
（1）求曲线M的方程；
（2）点O是坐标原点，是否存在斜率为1的直线m，使m与M交于A、B两点，且CB?2OA?若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由。
22解：（1）由(PC?2PQ)?(PC?2PQ)?0知PC22?4PQ?0，?PC?2PQ.
设P（x，y）,代入上式得(x?4)?y?2x?1，平方整理得
x24?y212?1.
（2）假设存在斜率为1的直线m：y=x+n,使m与M交于A、B两点，与
x24?y212?1.联立，得
2x?2nx?(n?12)?0.设A，B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
22?x1?x2?n,x1x2??n?1222?x2?2x1?4,② ,①，CB?2OA,得（x2?4,y2）?2(x1,y1),??y?y21?n?4?x1??, 将②代入①得??322??n??4(x1?2x1?3)消去x1,整理得13年n2?8n?76?0,因其判别式??82?4?13?76?0 所以不存在斜率为1的直线m满足题意。 6.已知椭圆x?2yb22?1(0?b?1)的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作?P，其中
圆心P的坐标为(m,n)．(1) 若FC是?P的直径，求椭圆的离心率；（2）若?P的圆心在直线x?y?0上，求椭圆的方程．
解：（1）由椭圆的方程知a?1，∴点B(0,b)，C(1,0)，设F的坐标为(?c,0)，
bc∵FC是?P的直径，∴FB?BC，∵kBC??b,kBF?5?12 ∴?b?bc??1
∴b?c?1?c，c?c?1?0 解得c?222 ∴椭e?ca?5?12
（2）∵?P过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上， FC的垂直平分线方程为x?1?c2--------① ∵BC的中点为(,)，kBC??b
224
1b
∴BC的垂直平分线方程为y?b2?1b(x?12)-----②由①②得x?1?c2,y?b?c2b22，
即m?1?c2,n?b?c2b2 ∵P(m,n)在直线x?y?0上，∴
121?c2?b?c2b?0?(1?b)(b?c)?0
∵1?b?0 ∴b?c 由b2?1?c2得b2?∴椭圆的方程为x2?2y2?1
227.已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为，P是椭圆在第一象
?????????限弧上一点，且PF1?PF2?1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交
椭圆于A、B两点。
（1）求P点坐标； （2）求证直线AB的斜率为定值； 解．（1）设椭圆方程为
ya22?xb22?1，由题意可得a?2,b?2,c?22，方程为
y24?x22?1
F1(0,2),F2(0,?2)，设P(x0,y0)(x0?0,y0?0)
????则PF1?(?x0,??????????????222?y0),PF2?(?x0,?2?y0),?PF1?PF2?x0?(2?y0)?1
?点P(x0,y0)在曲线上，则
x022?y042?1. ?x?204?y022
从而
4?y022?(2?y0)?1，得y0?22，则点P的坐标为(1,2)
（2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k?0)，
?y?2?k(x?1)?2得 2?k(x?1) 由?x2y??1??242则PB的直线方程为：y?(2?k)x?2k(2?k)x?(2?k)?4?0
22设B(xB,yB),则xB?22k(k?2?k22)?1?k?22k?22?k22
同理可得xA?k?22k?22?k2，则xA?xB?8k242k2?k2
yA?yBxA?xB(xA?1)?k(x?1)? yA?yB??kB2?k 所以：AB的斜率kAB??2为定值
5