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武汉理工大学考试试题答案（A卷）
2010 ~2011 学年 第二 学期 高等数学B（下） 课程
一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
B A A D B
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
6． 16．712． 2．8．
?dy?2?y01?1?y2f(x,y)dx-1．
9． y?ex．10． (0,2)．
三、计算题（本题共7小题，每小题7分，共49分）
11．令F(x,y)?lnx2?y2?arctanyx,则
Fx(x,y)?x?yx2?y2,Fy(x,y)?y?xx2?y2,（4分） 故
dy??Fxx?ydydxF??x, yy?dx(1,0)?1.（7分）
12．
?z?x?yf1??f2?， （4分） ?2z?x?y?f1??xyf11???(x?y)f12???f22?? （7分） 13．由题意知在xoy的投影D：x2?y2?1．（2分）
V???(2?x2?y2?x2?y2)dxdy（4分）
D??2?d??100(2?r?r2)rdr
?5?6.（7分）
1
14． P(x)??1sinx,Q(x)?, xx11???xdx?sinx?xdx?lnx?sinxlnxy?e?edx?C（4分）?e?edx?C??????
xx?????1x??sinxdx?C??1??cosx?C?.（7分） xx15．特征方程为??2?0，特征根为??2，对应齐次方程的通解为Yx?C?2.（4分）
?1不是特征方程的根，设yx??Ax2?Bx?C
代入方程得
?2A??3，B??6，C??9
x2于是yx??3x?6x?9.故原方程的通解为yx?C?2?3x?6x?9.（7分）
16．收敛域为I?[?1,1).（2分）
xn,设和函数s(x),即s(x)??n?1n?0??xn?1x?[?1,1).于是xs(x)??.
n?1n?0??xn?11)???xn?由[xs(x)]???(1?xn?0n?1n?0(x?1)，
1?01?xdx??ln(1?x)(?1?x?1)．
1于是，当x?0时，有s(x)??ln(1?x).（5分）
x得xs(x)?x?1??ln(1?x)当x?0时，显然s(0)?a0?1，故s(x)??x??1x?[?1,0)?(0,1)x?0．（7分）
17． 令x?2?t,即x?t?2,于是
1111（4分） ???5?x3?t31?t31?ttt????1??()2???()n??? 3?333?111（7分） ??2(x?2)?3(x?2)2?? ，?1?x?5．
333
2
四、应用题（本题共3小题，18、19题8分，20题5分，共计21分）
18．设拉格朗日函数F(x,y,?)?10x?15y??(20xy?x?8y?112)，（2分） 分别对x、y、?求导，并令其为零，得
22?fx?10?20?y?2?x?0?，（5分）解得x?4,y?2．（7分） ?fy?15?20?x?16?y?0?22?f??20xy?x?8y?112?0由实际问题知最值一定存在，所以要以最低成本生产112单位的该产品，需要A原料4单位和B原料2单位．（8分）
19. S2?2S1 ，∵S2?x?x0f(x)dx（2分）
S1?xy?S2?xy??f(x)dx
0∴
?x0xf(x)dx?2?xy??f(x)dx?
??0???3?f(x)dx?2xy,（4分）两边同时对x求导
0x3f(x)?2y?2xy??2xy??y，积分得y2?cx；（7分）
因为曲线y?f(x)过点(2,3)，代入得c?所以所求曲线为y?992，所以y?x．又因为f(x)为单调函数，2232x．（8分） 2n??20．由于数列un单调减少，故limun?a存在，且a?0；而级数
??(?1)unn?1?n发散，
蕴含了a?0（否则由莱布尼茨审敛法得到
n?(?1)unn?1n收敛，与题设矛盾），于是有
?1?1?0??1,即几何级数???收敛. （3分）
a?1n?1?a?1??1??1?又因为un?a,?????，故由比较审敛法知
u?1a?1??n??nn?1???收敛. （5分） ?u?1n?1?n??n
3