数字信号处理学习拓展
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）x1(n)??(n?n0) （2）x12(n)?2?(n?1)??(n)?12?(n?1) （3）x3(n)?anu(n?2),
0?a?1
（4）x4(n)?u(n?3)?u(n?4)
?n（5）x?1?5(n)????4???(n?3k)
k?0（6）x?cos??n3?,?1?n?46(n)???0,其他
解： （1） Xj?1(e)?0
n???(n?n?j?n0)e?e?j?n?????
（2） X2(ej?)?x2(n)e?j?n?1ej??1?1e?j??1?jsin? n???222
（3） Xj??n?3(e)?n(n?2)e?j??n?j?n?a?e2j?n?au???n?ae??21?ae?j?， 0?a?1 ?
（4） Xj???u(n?3)?u(n?4)?e?j?n3???j?n334(e)?e??j?n??nn???n??3?en?0?ejn?1（
等
比
数列求解1?e?j4?1?ej3??sin??7??1?e?j??1?ej?ej?=1?e?j71?e?j?ej3???2???((1-e^a)提出e^(0.5a)) sin??1??2?????n （5） Xj??1??jn????1?3k
5(e)??????k?0??4???(n?3k)e??k?0??4??e?j3k?
n??3k ????1e?j???1k?0?4??3
1???14e?j?????j??44（6） X6(e)?cos???jn?n??43ne??1??ej?3?e?j3??e?jn? n??42?? 2－1
）
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??)9j(??)n)9j(??)n1j4(???1j4(???333 ?e e?ee3??22n?0n?0??j(??)9?j(??)9????1j4(??3)?1?e31j4(??3)?1?e3?? ?e?e????j(??)?j(??)?2233?????1?e??1?e??2－2 设信号x(n)?{?1,2,?3,2,?1}，它的傅里叶变换为X(ej?)，试计算
(1)X(e)（２）解： （１）X(e)?j0j0??X(e?n???j?)d?（３）????X(e)d?。
j?2n????x(n)??1
??（２）x(0)?12?j???2X(ej?)d???3，?X(ej?)d???6?
??n?22?（３）2－3 已知
????X(e)d??2??x(n)?38?
n??2|?|??0?1, X(ej?)???0,?0?|?|??求X(e解：
j?)的逆傅里叶变换x(n)。
1x(n)?2?j?????0ej?nd??0sin?0n ?n2－4 设X(e试求下面序列的傅里叶变换。 )和Y(ej?)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，
?（1）x(n?n0) （3）x(?n)
?j?n
（2）x(n) （4）nx(n)
*解：(1) DTFT[x(n?n0)]?n?????x(n?n)e0， 令n'?n?n0,n?n'?n0,则：
DTFT[x(n?n0)]??n????x(n?)e*?j?(n??n0)?e?j?n0X(ej?)
?*(2) DTFT?x?(n)???n????x(n)e?j?n??????x(n)ej?n??X?(e?j?) ?n???? 2－2
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(3) DTFT?x(?n)??n????x(?n)e??j?n，令n??n，则：
' DTFTx)?n??(??n?????X(ej?)，得??j?nx(n)e?j?n??jFT?nx(n)?
??n????'?'j?n(x)ne?'??j(X e)(4) 由X(e)?j?n????x(n)e?j?n?X(ej?)所以 DTFT?nx(n)??j
??2－5 已知序列x(n)?2nu(?n)，求其傅里叶变换DTFT。 解：X(e)?j?n????2u(?n)en??j?n?n????2e0n?j?n11??(ej?)n?
12j?n?01?e2?2－6 设x(n)?R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)；并分别
用图表示。 解：
1R4?n??R4??n??, ???21R4?n??R4??n?? x0?n??? ??2
xe?n??图形如下题2-6图所示：
题2-6图 xe(n)与xo(n)序列图
n2－7 设系统的单位脉冲响应h(n)?2au(n)，0?a?1，输入序列为
x(n)?2?(n)??(n?1)
完成下面各题：
2－3
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（1） 求出系统输出序列y(n)；
（2） 分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。
解：（1）y(n)?h(n)?x(n)?2anu(n)??2?(n)??(n?1)??2anu(n)?2an?1u(n?1)
（2）X(e)?j??j?n?j? 2?(n)??(n?1)e?2?e????n????
H(e)?j?n????2au(n)enj??j?n??2ane?j?n?n?0?2 ?j?1?ae2(2?e?j?)Y(e)?H(e)?X(e)? ?j?1?aej?j?2－8 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
HR(ej?)?1?cos? 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej?)。 解：HR(e)?1?cos??1?
j?1j?1?j?e?e 22?DTFT?he(n)??n????h(n)ee??j?n
?1?2,n??1?he(n)??1,n?0
?1?,n?1?2?0,n?0?0,n?0,n?1??h(n)??he(n),n?0??1,n?0
?2h(n),n?0?1,n?1??e
H(e)?j?n????h(n)e?j?n?1?e?j??2e?j?/2cos??2
2－9 试用定义计算周期为5，且一个周期内x(n)?{2,1,3,0,4}的序列x(n)的DFS。
解：X(k)??x(n)en?04kn?j2?5＝2?ek?j2?5?3ek?j4?5?4ek?j8?5
2－4
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2－10 求出周期序列x(n)?{解：由题知x(n)周期为4
0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,}的DFS。
X(k)??x(n)en?03kn?j2?4??x(n)en?03kn?j?2 ?e?j?2k?2e?j?k?3ej?2kk?j3?2
?2(?1)k?2ek?j3?2?e?j?k(e?e?j?2k)
nl2－11 已知周期为N的信号x(n)，其DFS为X(k)，证明DFS的调制特性DFS[WNx(n)]
?X(k?l)。
证明：DFS[Wx(n)]?nlN?WNnlx(n)en?0N?1n?0N?1kn?j2?N
??x(n)e?x(n)en?0N?1kn?j2?nl?j2?NNe
?k?l)n?j2?(N
?X(k?l) 命题得证。 2－12 设
?1,n?0,1 x(n)???0,其他x(n)，画出x(n)和~x(n)的波形，求将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列~x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。 出~解： x(k)?DFS?x(n)??~?x(n)en?03?j2?k?4??en?01?jkn2??1?e?jk2?
?ex(k)以4为周期。
?jk4???k?jk??jk?j????444 ?e?e??2cos?k??e?4???2?X(e)?DTFT?x(n)??4j?2????x(k)?(??k)?x(k)?(??k) ??42k???2k???? 2－5