习题一 质点运动学
院 系： 班 级:_____________ 姓 名:___________ 班级个人序号:______
一 选择题
1．某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？［ C ］
(A) 北偏东30°． (B) 南偏东30°．(C) 北偏西30°．(D) 西偏南30°．
2.在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2 m/s速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向．今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用i、j表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为［ B ］ (A) 2i＋2j．
??????????i＋2j． (C) －2i－2j． (D) 2i－2j．
?F3. 水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为．现加一恒力如图所示．欲使物体A有最大加速
?F度，则恒力与水平方向夹角应满足
F (A) sinθ＝μ． (B) cosθ＝μ．
(C) tgθ＝μ． (D) ctgθ＝μ．［ C ］
4． 一质点沿x轴运动的规律是x?t2?4t?5（SI制）。则前三秒内它的 [ D ]
（A）位移和路程都是3m；
（C）位移是-3m，路程是3m； 解：
（B）位移和路程都是-3m；
（D）位移是-3m，路程是5m。
?A
?x?xt?3?xt?0?2?5??3
dxdx?2t?4，令?0，得t?2。即t?2时x取极值而返回。所以： dtdtS?S0?2?S2?3?|x0?2|?|x2?3|?|xt?2?xt?0|?|xt?3?xt?2|?|1?5|?|2?1|?5
5． 一细直杆AB，竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度v滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点
?C的速度 [ D ]
（A）大小为v/2，方向与B端运动方向相同；
（B）大小为v/2，方向与A端运动方向相同； （C）大小为v/2, 方向沿杆身方向；
（D）大小为v/(2cos?) ，方向与水平方向成?角。 解：对C点有
位置：xC?lsin?,速度：vCx?lcos?yC?lcos?；
A?CB?vd?d?d?v22；所以，vC?vCx. ,vCy?lsin??vCy?l?dtdtdt2cos?d?d?v）。 ?v,??dtdt2lcos?（B点：xB?2lsin?,vB?2lcos?二、填空题
1．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为v，其方向与水平方向成30°角。则物体在P点的切向加速度
yPa??aτ = ，轨道的曲率半径?= 。
2v21答案：?g；。
23g?1?解：a??gj a??asin???gsin30??g
2?v??30?anxav2v22v2 an?acos???gcos30。又因 an? ，所以 ?????angcos30g3v2
?????22． 一质点在xy平面内运动，其运动学方程为r?2ti?(2?t)j，其中r,t分别以米和
秒为单位，则从t = 1秒到t = 3秒质点的位移为 ；t =2秒时质点的加速 度为 ；质点的轨迹方程是 。
x2答案：4i?8j；?2j；y?2?。
4d2xd2y解： ?r?r(3)?r(1)?4i?8j ， a?2i?2j??2j
dtdt2x。 x?2t,y?2?t2，消去时间t得 y?2?4
3. 一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s?v0t?矢量a? ；加速度大小为b时，质点沿圆周运行的圈数为 。
?12bt，其中v0,b都是常数，t 时刻，质点的加速度2v0(v0?bt)2n?b?答案：；。 R4?Rb解：
2dsd2s?v0?bt，a??2??b （1）v?dtdt(v0?bt)2a?ann?a???n?b?
R（2）
v0?(v0?bt)2?2令a?? ??b?b， 得 t?Rb??2vv01v02v0?s?s?s(t)?s(0)?v0?b()??0 ， 得n?b2b2b2?R4?Rb22
4．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜?0角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜?1角，火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜?2角，火车加速前后的速度之比为 。 答案：
?v1v?v1cos?0tan?1?sin?0tan?1?tan?0?? v2cos?0tan?2?sin?0tan?2?tan?0?1?0v0解：设v0为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为?0（这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以v1行驶时，雨滴相对火车的速度为v?，已知其倾角为?1，根据伽利略变换：v??v0?v1
???同理，火车以v2行驶时，雨滴相对火车的速度为v??，已知其倾角为?2，所以v???v0?v2
???v?sin?1?v1?vosin?0 v??sin?2?v2?vosin?0
联立（1）（2）式得tg?1?(1) ； (3) ；
v?cos?1?v0cos?0
(2) (4)
?v2v??cos?2?v0cos?0
v1?v0sin?0， v1?v0(cos?0tg?1?sin?0)
v0cos?0v???2?0v0联立（3）（4）式得tg?2?v2?v0sin?0， v2?v0(cos?0tg?2?sin?0)
v0cos?0v1cos?0tan?1?sin?0tan?1?tan?0?? v2cos?0tan?2?sin?0tan?2?tan?0所以，火车加速前后速度之比为
5.一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为??2?4t，?的单位为rad，t 的单位为s。问t = 2s时，质点的切向加速度 ；法向加速度 ；?等于 rad时，质点的加速度和半径的夹角为45°。
答案：a??4.8m/s2；230.4m/s2；2.67rad。
3d2?d?2解：（1）???12t，??2?24t；an?R?2?144Rt4，a??R??24Rt。
dtdtt = 2s时，an?230.4m/s2，a??4.8m/s2
（2）设t?时，a和半径夹角为45°，此时an?a?，即144Rt?4?24Rt?，得t?3?1/6 所以
6.距河岸(看成直线)500 m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =1 r/min转动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v =__________．69.8 m/s
三 计算题
1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过?秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。 答案：v?a0t?
?(t?)?2?4t?3?2.67rad?rad
83aa021t；x?a0t2?0t3。
26?2?
由题意可知，角速度和时间的关系为 根据直线运动加速度定义
a?a0?a0?t
a?dv dtv?v0??t?0时刻，v0?0 所以 又v?ttaadvdt??adt??(a0?0t)dt?a0t?0t2
00dt?2?v?a0t?a02t 2?ttaadx1dx，所以 x?x0??dt??vdt??(a0t?0t2)dt?a0t2?0t3
00dt2?26?dtt?0时刻，x0?0 所以
a1x?a0t2?0t3
26?2．一质点以初速度v0作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为与质点所能行经的总距离之比。 答案：1?v0(n?1)时，质点经过的距离n1。 na??kv
解：质点作一维运动。初始条件：t?0时，x?0，v?v0。又由题意，质点的加速度可表示为 式中，k为大于零的常数。
解法一：由加速度的定义有
a?分离变量
dv??kv dtdv??kdt vtdv??k?v0v?0dt v由初始条件t?0时v?v0，有
积分得
v?v0e?kt (1)
所以
v?dx?v0e?kt dtx??v0e?ktdt?0t由初始条件t?0时x?0，积分得
v0(1?e?kt) k上式可写为 其中，xm?
x?xm(1?e?kt) (2)
v0为质点所能行经的最大距离。 kxx?m(v0?v) 联立式（1）和式（2），得
v0故 将v?
xv?(1?) xmv0v0代入上式，得 nx1?1? xmn 解法二：由加速度的定义，并作变量替换有
a?v即
dv??kdx
dv??kv dx由初始条件x?0时v?v0，有
?积分得
vv0dv??k?dx
0xv?v0?kx (3)
由上式得x?vv0?v。故当v?0时，
nkx?v01(1?) (4) kn 又由v?dx及式（3），有 dt
dx?dt
v0?kx由初始条件t?0时x?0，积分得
ln即
v0?kx??kt v0x?可见，质点所能行经的最大距离为 故当v?v0(1?e?kt) kvxm?0
kv0时，由式（4）及上式得 nx1?1? xmn
3．在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率v0匀速收绳时，试求船
y的速率和加速度大小。
v0h2?s2h22答案：vx??；ax??3v0。
sslhxv0解：建立如图所示的坐标系。 根据题意可得
dl?-v0 dtxo由上图可得 x?l2?h2 dxldllh2?x2船的速率 vx???(?v0)?(?v0)
22dt22dtxl?hl?hdv船的加速度大小 ax?x?dth2(l?2322h)h22(?v0)??3(v0)
x2当
v0h2?s2h22x = s时，ax??3v0，vx??
ss
4．如图，一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为1940 km/h，沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B，其速率为2192 km/h，所经历的时间为3s，设圆弧 AB的半径约为3.5km，且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）飞机在点B 的加速度；（2）飞机由点A 到点B 所经历的路程。 答案：（1）a?109m?s?2，与法向成12.4角；（2）s?1722m。 解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以at和?为常量
vBtdvat?，
dt?vAdv??atdt?vB?vA?att，
0AvAB已知vA?1940km?h?1，vB?2192km?h?1 t?3s，r?3.5km，所以 at?rvB?vA?23.3m?s?2 t?vBo