2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》 以下简称为（“竞赛章程和参赛规则” 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载），。
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我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
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2. 3.
指导教师或指导教师组负责人
(打印并签名)：
A
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日期： 2014 年
9 月 15
日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
采用软轨道方式使探测器相对于月球的速度小，能够使探测器安全着月，嫦娥三号 软轨道的设计关键考虑探测器安全着陆在相对平坦的区域和燃料的节省。 本文主要解决以下三个问题：
针对问题一，假设嫦娥三号着陆过程为类平抛运动。依据嫦娥三号的着陆准备轨道、 着月点、月心在同一平面上的原理，利用万有引力提供向心力公式 M 1M 2V2
，计算求得嫦娥三号在近月点的速度为 1.6725km/s，远月点速度G M22R h1 R h1
为 1.633km/s。以近月点在月球赤道面的投影为原点建立空间直角坐标
系，运用空间几何与勾股定理建立等量关系，勾勒出月球表面三维坐标图，测得轨道面
（45.01N，15000），与赤道面的夹角 arcsin 0.8839 ，进而确定近月点的位置为 21.82W，方向
在月心空间极坐标系中表示为 (sin , cos , 0) ，嫦娥三号在远月 点的位置、方向是 (（158.62E，25.08S，100000）， sin , cos , 0) 。
针对问题二，首先分析六个阶段，主要分析主减速阶段、粗避障和精避障三个阶段； 对主减速轨道主要考虑以燃料为主，根据牛顿第二定律，列出嫦娥三号运动方程式为 1 a竖 1 /m）- g（km
6 ，建立非线性规划模型，确定最优轨道；并且使性能指标 1 T
J ( x Qx u T ru )dt 极小。对粗避障和精避障阶段通过分析照片，利用程序建立三维 20
图形，模拟月球待选降落区域，利用 C 语言对高度相对平坦区域的数据进行了处理，即 对高度的方差分析，选择相对平坦区域；对精避障阶段增加分析指标，准确确定降落区 域，在缓慢下降阶段，开启发动机，降速。为解决问题三奠定了基础。
针对问题三，主要考虑位置误差、速度误差、轨道根数误差，根据轨道和轨道的位 置以及探测器速度的大小，建立月心坐标系和探测器非惯性坐标系采用开普勒根数进行 误差分析。
关键词：近月制动 非惯性坐标系 开普勒根数
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一、 问题重述
嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射，12 月 6 日抵达月球轨道。嫦娥 三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为 2940m/s， 可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的 推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号 的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键 问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月 点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共 分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消 耗。
让我们建立数学模型来解决以下问题：
问题一：确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方 向。
问题二：确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。
问题三：针对上述确定的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二、 问题分析
嫦娥工程是我国探月工程的开始，嫦娥工程分为“绕、落、回”三个阶段。
第一阶段建立了我国月球探测航天工程初步系统。在此阶段我国成功实施了嫦娥一 号探测工程。
第二阶段目标研制和发射月球探测器，用软着陆的方式降落在月球上进行探测。为 以后建立月球基地的选址提供月面的化学和物理参数。
第三阶段目标是月面巡视勘察与采样返回。采集关键性样品返回地球，对着陆区进 行考察，为下一步载人登月探测准备，为建立月球哨站的选址提供数据资料。 嫦娥三号是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，嫦娥三号探测器在绕星体运动的时候 受到向心力的作用，此时的椭圆轨道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是说探测 器沿椭圆轨道绕月球球心运动。嫦娥三号在着陆准备轨道的近月点脱离轨道被月球捕 获，采用近月制动，保证探测器安全着月。在探测器的着陆过程中，探测器做曲线运动， 我们假设这个曲线运动为水平方向的匀减速和竖直方向的匀加速的类平抛运动。由材料 二着陆过程中的快速调整阶段调整探测器姿态使探测器只沿竖直方向运动。在沿竖直方 向运动的过程中，探测器进行拍照，探测器运用程序对照片分析，根据分析结果平移选 择合适降落位置。
2.1 问题一的分析
确定近月点的位置，根据物理学知识，假设着陆过程为类平抛运动，竖直和水平方 向做匀变速运动，进行运动分析，确定近月点和着月点的水平距离，用空间天体运动公
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式计算出来速度大小，远月点的位置和速度大小用同样的方法计算出来，方向是和近月 点的相反。
2.2 问题二的分析
六个阶段的降落过程中，主减速阶段将接近 1.7km/s 的速度减到 60m/s 左右，必须 要产生尽可能大的阻力，是最消耗燃料的一个阶段。快速调整阶段是调整探测器姿态使 其在以后的过程朝竖直方向下降。粗避障利用光敏感成像技术分析月面地形；来判断降 落的大致位置，调整发动机来粗步避开大陨坑。依据附件三有选择的选取地表数字高程 图进行分析。细避障阶段要求嫦娥三号悬停在距离月面 100 处，据附件四的三维数字高 程图并分析，需要避开较大的陨石，并确定最佳着陆地点。 2.3 问题三的分析
对问题三研究的意义的分析 对于问题三：
根据轨道和轨道的位置以及探测器速度的大小，建立月心坐标系和探测器非惯性坐 标系采用开普勒根数进行误差分析。
三、模型的基本假设
1、假设不考虑月球的自转和公转 2、假设地球对探测器没有吸引力 3、假设我们搜集的数据合理有效
四、符号说明
F ：探测器绕月球飞行向心力 F FG ：探测器在月球上空的重力 G ：月球上的万有引力系数 R :月球平均半径
h1, h2 :近月点、远月点离月球表面的距离 M 1 :月球质量
s ：近月点与着月点的水平距离 V :探测器在近、远月点的速度 M 2 :探测器质量
V0 , Vt :主减速段近月点水平方向的初始和末速度 s 2 ：方差
V0, Vt :主减速段近月点竖直方向的初始和末速度 m1 ：燃料消耗变化率
a1, a2 :分别是竖直和水平方向上的加速度大小 注：部分符号见模型建力和求解过程
五、模型的建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解：
嫦娥三号着月是从椭圆轨道做类平抛运动。探测器做着月准备工作时一直沿椭圆轨 道，由物理学中天体运动知识，探测器在绕星体运动的时候受到向心力的作用，此时的 椭圆轨道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是说探测器沿椭圆轨道绕月球球心运
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