高等数学II练习题
________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
反常积分、定积分应用（一） 1、求无穷限积分
???0。 e?axdx （a?0）
?
??0e?axdx?1 (过程略) a22、求瑕积分
?1xdx。 x?1?212xdxxdx?limx?1??0??1??x?1 ?lim????01??x?1??d?x?1?1???x?1??223/21/2??2 ?lim???x?1??2?x?1????0?3?1??8?2?8 = ?lim???3/2?2?1/2??3??0?3?3
23、求由曲线y?2x与x?y?4所围成图形的面积。
?y2?2x?x?2?x?8解：??或?是两交点?y?2y??4??x?y?4? 2232yyy?S??(4?y?)dy?(4y??)2?4?18?42264、求由曲线xy?1和直线y?x，x?2所围成的平面图形的面积。
2?1?3S???x??dx??ln2
1x?2?或
211?1?3S??2?2???xdx??dx???ln2（请自己画草图，体会两种不同的求法）
1x2?0?2
5、抛物线y??x2?4x?3与其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。 解：
过点(0,?3)的切线方程为 y?3?4x，而过(3,0)处的切线方程为 y??2?x?3? 故求的两切线交点为 (,3)，则所要求图形的面为：
32S?S1?S2??
3/2039??4x?3????x2?4x?3??dx?????2x?6????x2?4x?3??dx? ???3/2?46、设椭圆的参数方程为x?2cost,y?3sint，求椭圆的面积。
解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：
S?4?ydx?4?020?/23sintd?2cost???83?sin2tdt?23?
?/20（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）
7、在[0,1]上给定函数y?x，问t取何值时，右图中曲边三角形OACO与ADBA的面积之和最小？何时最大？
2yB解：设曲边三角形OACO和ADBA的面积之和为A(t)?A(t)??t2023ydy??2(1?y)dy?y2t31t2023?(y?y2)31t2COAtDx41?t3?t2?33?A?(t)?4t2?2t,令A?(t)?0,?t?0或t?12 1当t?[0,]时，A?(t)?0，函数单调减少21当t?[,1]时，A?(t)?0，函数单调增加21112A(0)?,A()?,A(1)?32431所以当t?1时，面积之和最大，当t?时，面积之和最小。2
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定积分应用（二） 1、求由曲线y2?x和y?x2围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积。 解：
V???01??x2??23? ???dx?10x2
2、分别求由曲线y?x,y?2?x及x轴所围成的图形绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的
体积。
解：
绕x轴旋转而成的旋转体的体积
Vx????x2?dx???(2?x)2dx?20112?5+?3?8? 1510绕y轴旋转而成的旋转体的体积
Vy???[(2?y)2?y]dy??(4y?015212y?y)23?11? 6
23、求由曲线y?x和直线x?2、y?0所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转的旋转
体的体积。 解：
图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积
Vx????x2?dx?20232? 54图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积
Vy???2?4???
20?y?dy?8?
24、求曲线y?xsinx(x?(0,?))所围成的图形绕y轴旋转的旋转体体积。
（参考课本第214页（4） 的（6.37）的做法，注意是按圆环体来分隔） 解：
图形绕y轴旋转的旋转体体积
V?2??xf?x?dx?2??xsinxdx??2?xcosx?2??2xcosxdx220000?????2??4?xsinx0?4??sinxdx?2?3?8?03??
5、已知一抛物线过x轴上的两点A(1,0),B(3,0)：
（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形D1的面积等于x轴与该抛物线所围图形D2的面积。
（2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周产生的两个旋转体的体积。 略。（由于没给出抛物线二次项的系数a，本题大家可以随意选个非零的a来做）
6、求由曲线y?解：
2x,y?0，x?1所围成的图形绕直线x?1旋转而成的旋转体的体积。
1V????1?y012?dy????1?2y02?y4?dy?8?（注意旋转体界面圆的半径是1?y2） 15
7、设某产品的边际成本MC?2?x（万元/台）其中x表示产量，固定成本为C0?22（万元），边际收益MR?20?4x（万元/台），求：（1）总成本函数和总收益函数；（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化。 解：
xx12C?MCdx?C?2?xdx?22??x?2x?22 （1）总成本函数为 ??0?0?02 总收益函数为R??x0MRdx???20?4x?dx??2x2?20x；
0x
（2）由（1），利润函数为
??R?C??32x?18x?22 2，因此当产量x=6台时，
当????3x?18?0可求得驻点为 x?6，而???x?6??3?0获得最利润；
（3）?????10????6??...（略）
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定积分综合
一、选择题
1、设函数f(x)在[a,b]上连续，则曲线y?f(x)与直线x?a,x?b,y?0所围成的平面图形的面积等于
（ C ） （A）
?baf(x)dx （B）?f(x)dx （C）?f(x)dx（D）f?(?)(b?a)(a???b)
abba??0?02、设I1??40xdx，I2??4xdx，I3??4sinxdx，则 ( D )
（A）I1?I2?I3 （B）I3?I1?I2 （C）I1?I3?I2 （D）I2?I1?I3 3、设f(x)连续，f(x)?x?2?f(t)dt，则f(x)? ( B )
01
（A）x （B）x?1 （C）x?2 （D）x?1
4、下列结果正确的是 ( B )
dbdb22(?sintdt)?sina （B）(?sint2dt)?sinb2 （A）
daadbadbdb(?sint2dt)?sinx2 （D）(?sint2dt)?2xsinx2 （C）
dxadxa?xt?2dt，则f?x?在[0,1]上 ( B ) 5、设f?x???20t?2t?2（A） 单调增加 （B）单调减少 （C）有增有减 （D）无界 6、设f(x)是连续函数，则
?baf(x)dx??f(a?b?x)dx= ( A )
ab （A）0 （B）1 （C）a?b （D）?f(x)dx
ab7、若f(x)是连续函数且为奇函数，则
?x0f(t)dt是 ( B )
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）既奇既偶函数 8、下列反常积分发散的有 ( C ) （A）
???0??lnx1??dxdxdx （D）?e?xdx （B）? （C）?2e001?xx1?x29、下列反常积分收敛的有 ( D )
（A）
?101dx1lnx1dxdxdx （D）? （B）?2 （C）?
000xxxx10、由曲线y?f(x)，y?g(x)（f(x)?g(x)，a?x?b）及直线x?a，x?b所围图形绕x 轴旋转而成立体的体积是 ( B ) （A）（C）
?baba?[g(x)?f(x)]2dx （B）??[g2(x)?f2(x)]dx
a2bab??g(x)dx （D）??[g(x)?f(x)]dx
二、填空题
1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果： (1)
?204?xdx= (2)?(x?1)dx? -4
?22?02、利用定积分的性质，填写下列各题： (1) 6 ??4?1 ??1(1?x2)dx? 51 (2) 932?xarctanxdx? 3
33、设
?x0sinx?xcosx。 f(t)dt?xsinx，则f(x)=
4、已知f(x)在(??,??)上连续，且f(0)?2，且设F(x)?-2 。 5、设y?y(x)由
3x?sinxtedt?0所确定，则y?= 。 ?0013x?1126、设f(x)为连续函数且满足?。 f(t)dt?x，则f(7)?
cost2dt??0cosx?y2f(t)dt，则F?(0)?
3cos9x2?sinx(cosx?y2)ex27、求下列定积分
?1099(1)?1(2x?1)dx= 200 (2)?2?20?cos?2d?? e21 2(3)
?502x?4dx? 13 (4)?4dxx1?lnx1? 23?2
?(5)
???x8sinxdx? 0 (6)
4???e1lnx1dx?
2x?(7)
????sinxdx= 0 (8)?2?cosxdx= 2 2?20cosxdx
8、若反常积分
???2dx收敛， k > 1 。 kx(lnx)?4x，且固定成本C0?10，则总成本函数9、某厂生产的边际成本函数C?(x)?13