《实变函数》作业
一．判断题
1．E?R 可测的充要条件是CE可测。 （对 ）
n2．所有无理数构成的集合是可数集。 （错 ）
n3．如果f(x)在E?R上单调减少，则f(x)在E上可测。 （对 ）
4．直线上任意非空开集均可表示为至多可数个两两不交的开区间的并。 （对 ） 5．若E是不可数集，则m*E?0 。 （ 错 ） 6．若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)至多有可数个间断点。 ( 对 ) 7．可数集合的任意并是可数集合。 （ 错 ） 8．R中既开且闭的集只有空集?与R。 （对 ）
nn9．如果函数f(x)是[a,b]上的单调函数，则f(x)在[a,b]上是黎曼可积。 （对 ） 10.若m*E?0，则E是可测集。对 （对 ）
11.定义[0,1]上的狄利克雷函
?1x?[0,1]?QD(x)??,?0x?[0,1]?Q(Q表示有理数集）,数
在[0,1]上几乎处处连续。 （ 对 ） 12.集合E上的常值函数必可积。 （ 错 ） 13、区间[0，1]是一个可数集合。 （错 ） 14、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。 （ 对 ） 15、Rieman可积函数一定是Lebegus可积函数。 （ 错 ） 16、[0，1]上的无理数是一个可数集合。 （ 错 ） 17、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。 （对 ） 18、有界区间上Rieman可积函数一定是Lebegus可积函数。 （ 对 ） 二．
1．证明：??I(?A?)?B??(A??B).??I
证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。 2．试找出使(0,1)和[0,1]之间一一对应的一种方法。
1
证明：令
{x1,x2,x3,...}?(0,1)，做f(x)，使得
?1?f(x)??0?x?n?2x?x1x?x2x?xn,n?2，
其它处，f(x)?x.
1,r2,...}3令{r表示（0,1）上的全体有理数，则{0,1,r1,r2,...}是[0,1]上的全体有理数，且有
(0,1)\\{r1,r2,...}?[0,1]\\{0,1,r1,r2,...}
如下定义一个函数f(x)
?x?0??1?f(x)??r1?...??rn?2?...?x?(0,1)\\{r1,r2,...}x?r1x?r2x?r3...x?rn...，
则这是满足条件的一一对应。
4）
(?Ai)?B?(?Ai)?B??(Ai?B??(Ai?B).cci?1i?1i?1i?1????
三．证明题 1. 设
fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列，mE??，而fn(x)几乎处处收敛于有限函数
f(x)，则对任意的??0，存在常数c与可测集E0?E，m(E\\E0)??，使在E0上，对一
切n，有|f(x)|?c。 证明：直接利用鲁津定理。
2. 证明：证明CG?{x|f(x)?a}是开集，事实上，对任意x?CG，则f(x)?a，由连续函数的局部保号性，存在??0，使得对一切的t?B(x,?)，有f(t)?a，即B(x,?)?CG，
所以x是内点，从而CG?{x|f(x)?a}是开集。 3. 设f(x)在E?[a,b]可积，则对任何??0，必存在E上的连续函数g(x)，使得
2
?ba|f(x)?g(x)|dx??
明：教材第121页例1。 4. 设在E上
fn(x)?f(x)，且fn(x)?g(x)几乎处处于E上成立，n?1,2,..., 试证
f(x)?g(x)在E上几乎处处成立。
limfni(x)?f(x)fni(x)f(x)?f(x)nE证明：利用黎次定理，由在上，得到存在子列使得i几乎处处成立，在利用控制性5. 设
fn(x)?g(x)，所以f(x)?g(x)在E上几乎处处成立。
E1,E2,...,En是[0,1]的n可测子集，q假定[0,1]中的任一点至少属于这n个集合中的个，
q证明：必有一个集，它的测度不小于n证明：令
。
f(x)???Eii?1n，则
?10f(x)dx?q，同时
q??f(x)dx?mE1?mE2?...?mEn01,
n，有在利用反证法，若对所有i?1,2,...,盾。
mEi?qn，则q?mE1?mE2?...?mEn?q，矛
1nPP6.设在Cantor集0上定义函数f(x)?0，而在0的余集中长为3的构成区间上定义
f(x)?n,(n?1,2,...)。试证f(x)在[0,1]上可积，并求出积分值。
证明：先说明函数的可积性（简单函数的极限），7.设在E上
?102nf(x)dx??nn?3.3n?1
?fn(x)?f(x)，且
fn(x)?fn?1(x)几乎处处成立，n?1,2,..., 则几乎处处有
fn(x)收敛于f(x)。
证明：利用黎次定理，由在E上几乎处处成立，在利用单调性
fn(x)?f(x)，得到存在子列
fni(x)使得
limfni(x)?f(x)ifn(x)?fn?1(x)，所以几乎处处有
fn(x)收敛于f(x)。
1?(1?x)?(x2?x3)?...8. 试从1?x，0?x?1，证明
3
ln2?1?111???...234.
证明：先验证逐项积分的条件成立，所以
?11?dx2n2n?1ln2?????(x?x)dx???(x2n?x2n?1)dx01?x00n?0n?01??(n?0?11111?)?1????...2n?12n234
lim?n??9.证明：
dt?1.1(0,??)tnn(1?)tn
?dxdxlim???x?1.1tnn0en(0,?)(1?n)t证明：验证Lebesgue控制定理的条件成立，所以10．设mE
?0，f(x)在E上可积。如果对于任何有界可测函数?(x)，都有
?Ef(x)?(x)dx?0,
证明：f(x)?0在E上几乎处处成立。
?(x)??证明：取
??1??1f(x)?0f(x)?0，则有?E|f(x)|dx?0,所以|f(x)|?0在E上几乎处处成
立，从而f(x)?0在E上几乎处处成立。 11. 设
{fn}为E上非负可积函数列，若
lim?fn(x)dx?0,n??E证明：
fn(x)?0。
fn(x)?0的否定定义，再证明结论成立。
EE证明：反证法，先写出
2. 证明：
4
xp1ln?01?xxdx?11,?2n?1(p?n)?(p??1)。
1?1?x?x2?...证明：利用1?x，验证逐项积分的条件成立，所以
xp1ln?01?xxdx?1?10n?pxn?n?1??1dxx
???n?1?10xn?p1lndx?x1?2n?1(p?n)13．设E是直线上的一个有界集合，m*E?0，则对任意小于m*E的正数?，存在E的子集E1，使得m*E1?c.
证明：令f(x)?m*(E?[a,x])，则f(x)连续单调，且f(a)?0.f(b)?m*E，由连续函数的介值性，存在x?[a,b]，使得对任意小于m*E的正数c，存在E的子集E1，使得
f(x)?m*E1?c.
x?(?Ai)ci?1?14对任意的x，有当且仅当x不属于所有的
?Ai(i?1,2,...,)
ci当且仅当x属于所有的15 任取
n??A(i?1,2,...,)ci，当且仅当
x??Ai?1，所以，
(?Ai)??Aicci?1i?1??。
x0{x},xn属于E{x|f(x)?a}'，则存在一个数列n，因为
?E{x|f(x)?a}，且满足
limxn?x0f(xn)?a所以有
，
f(x0)?a从而
，
x0属于E{x|f(x)?a}，即E?{x|f(x)?a}是一个闭集
16因为
S1,S2,...,Sn是一些互不交的可测集，所以
5
m*(E1?E2?...?En)?m*[(E1?E2?...?En)?S1]?m*[(E1?E2?...?En)?S1c]?m*E1?m*(E2?...?En)c?m*E1?m*[(E2?...?En)?S2]?m*[(E2?...?En)?S2]?m*E1?m*E2?m*(E3?...?En)?......?m*E1?m*E2...?m*En.17任取
n??
x0{x},xn属于E{x|f(x)?a}'，则存在一个数列n，因为
?E{x|f(x)?a}，且满足
limxn?x0f(xn)?a，
所以有
f(x0)?a，.
从而
x0属于E{x|f(x)?a}，即E?{x|f(x)?a}是一个闭集，而又因为
E{x|f(x)?a}?(E{x|f(x)?a})c,
所以E?{x|f(x)?a}是一个开集。
6