概率论与数理统计习题及答案
习题 一
1．?略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：? （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生；? （3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生；? （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；? （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.? 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC
（4） A∪B∪C=ABC∪(5)
ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC
ABC=A?B?C (6) ABC
(7)
ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C
ABC∪ABC
(8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪3.?略.见教材习题参考答案?
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A【解】 P（AB）=1B)=0.3，求P（AB）.? P(AB)]
P（AB）=1[P(A)0.3]=0.6
=1[0.75.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：? （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？? （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？?
【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，?P（AC）=1/12，
求A，B，C至少有一事件发生的概率.? 【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)
P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)
1
=
11113++= 44312427.?从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p=C13C13C13C13533/C1352
8.?对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为7，有利事件仅1个，故 P（A1）=
5
175=（
1767）
5
（亦可用独立性求解，下同）
5
（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为6，故
65P（A）=572
=()
5
(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1P(A1)=1(
17)
5
9.?略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n A）的概率.如果：? （1） n件是同时取出的； （2） n件是无放回逐件取出的；? （3） n件是有放回逐件取出的.? 【解】（1） P（A）=CMCN?Mmn?m/CnN n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m次为正品的组 合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从NmmM件次品中取nm件的排列数为PN?M种，故 mn?mCmnPMPN?MP（A）=nPNn?m 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 n?mCmMCN?MP（A）= CnN 可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为N种，n次抽取中有m次 为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有M种取法，nmnmm次取得次品，每次都有NM种取法，共有（NM）nm种取法， 2 故 mn?mnP(A)?CmM(N?M)/N n此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为率为 MN，则取得m件正品的概 ?M??M?P(A)?C???1??N??N??mnmn?m 11.?略.见教材习题参考答案. 12.? 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只 强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱} 33P(A)?C110C3/C50?1 196013.?一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两 个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥. 1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3? C735故 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)?22 3514.?有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2） (1) P(A1A2)?(2) P(A1?(3) P(A1A2P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 ?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 15.?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 1131C1()()41115223224?2 【解】（1） p1?C5()() (2) p2??222325/32516.?甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 3 212P(?AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? i?03 C3(0.7)=0.32076 222?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3 17．?从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 41111C5C2C2C2C213?【解】 p?1? 4C102118.?某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}. （1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 3 19.?已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）. 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为2=8，故 P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. P(BA)?设男人和女人各占人数的一半）. 6 720.?已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)? P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520 ?0.5?0.05?0.5?0.00252121.?两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 4 题21图 题22图 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x阴影部分所示. P?3021602?4 22.?从（0，1）中随机地取两个数，求： （1） 两个数之和小于 65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x,y，则0 65. 144 p1?1?2551?1725?0.68 (2) xy=<14. p1??11????112?1dx?1dy???ln2 44x?4223.?设P（ A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BA?B)?P(AB)P(A)?P(AB)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) y|>30.如图 5