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3.1.2 椭圆的简单性质
[A.基础达标]
1．已知椭圆＋＝1及以下3个函数：①f(x)＝x；②f(x)＝sin x；③f(x)＝cos x，
169
其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f(x)＝x，f(x)＝sin x为奇函数，f(x)＝cos x为偶函数，故①②满足要求．
x2y24
2．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的两个顶点在直线x＋y＝4上，则此椭圆的焦点坐标
ab3
是( )
A．(±5，0) B．(0，±5) C．(±7，0) D．(0，±7)
422解析：选C.直线x＋y＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a＝4，b＝3，所以c＝4－3
3＝7，故椭圆的焦点坐标为(±7，0)．
x2y2
x2y2
3.如图，A、B、C分别为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭
ab圆的离心率为( )
A.C.
－1＋5
22－1
2
B.5－1 D.2－1
解析：选A.因为Rt△AOB∽Rt△BOC，所以＝，即b＝ac， 又b＝a－c，所以a－c＝ac，
22
即c＋ac－a＝0，
2
所以e＋e－1＝0，又e∈(0，1)，
－1＋5
所以e＝.
2
2
2
2
2
2
abbc2
x2y2
4．如图，已知ABCDEF是边长为2的正六边形，A、D为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)长轴的
ab两个端点，BC、EF分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是( )
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A.＋＝1 43C.＋y＝1 4
x2y2x2
B.＋＝1 34D.＋y＝1 33
＝3. 2
x2y2x2
22
解析：选A.因为a＝|AO|＝2，b＝2×故该椭圆的方程为＋＝1.
43
x2y2
x2y2
5．设AB是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作
abAB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是( )
A．98a B．99a C．100a D．101a
解析：选D.设F2为椭圆的右焦点，|F1Pi|＋|F2Pi|＝2a(i＝1，2，…，99)，P1，P2，…，P99关于y轴成对称分布，
99
? （|F1Pi|＋|F2Pi|）＝2a×99＝198a，
i＝1
199
? | F1Pi|＝2? (|F1Pi|＋|F2Pi|)＝99a. i＝1i＝1
又因为|F1A|＋|F1B|＝2a，
所以|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|＝99a＋2a＝101a.
3
6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．
5c3
解析：由题意知，2a＝20，a＝10，e＝＝，
a5
222
所以c＝6，b＝a－c＝64. 故椭圆的标准方程为答案：
＋＝1或＋＝1. 1006410064
99
x2y2y2x2
＋＝1或＋＝1
1006410064
22
7．椭圆(m＋1)x＋my＝1的长轴长是________． 解析：将椭圆化为标准方程为则必有m>0. 因为m＋1>m>0，所以
11<. m＋1m＋＝1， 11m＋1mx2y2y2x2
x2y2
1m2m2
所以a＝，a＝，2a＝.
mmm2m答案：
mx2y2?2?
8．若椭圆＋＝1的离心率e∈?，1?，则实数m的取值范围为________．
4m?2?
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