第一章 三角函数
1.1．1 任意角
一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：
1．角的有关概念： ①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：（在360度内）
始边 锐角，直角，钝角，平角， B 优角，周角 终边 O ③角的分类： A
顶点
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
练习：请说出角α、β、γ各是多少度?
2.象限角
思考两个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
y y B1 45° O ⑴ x 60o B3 O B 2⑵ 30°x 负角：按顺时针方向旋转形成的角
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴ 60°；⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；
3.终边相同的角的表示
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β =
α + k2360° ，
k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：⑴ k∈Z，⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；
（2） 角α + k2720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．
例5．写出终边在y?x上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
思考题：已知α角是第三象限角，则α/2，α/3，α/4各是第几象限角？
当堂检测
{第一象限的角｝1．设E?{小于90o的角｝ F?{锐角｝，G＝，
，那么有（
）．
（
） D．
A． B． C．
2．用集合表示：
（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在 轴右侧的角的集合．
3．在
～
间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 ；（2）
；（3）
．
（1）
1.1.2弧度制
一、复习角度制：
初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?
1规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
360二、新课： 1．引 入：
由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略． 3．思考：
（1）一定大小的圆心角?所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？ 弧度制的性质：
2?r?r①半圆所对的圆心角为??; ②整圆所对的圆心角为?2?.
rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
l⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|= .
r4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：
n???0.01745rad；n??rad． 360??2?； 180???；1??180180②将弧度化为角度：
180180n ) ． )盎57.30?57 18￠；n=( 2p=360 ；p=180 ；1rad=(pp5．常规写法：
① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度 角030456090120135150180270360度 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ????2?3?5?3?弧 ? 2? 0 度 462432367．弧长公式 la=?lr a
r弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
3例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把? rad化成度．
5
例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式： 19?；(2)?315?． (1)3
例5．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
31?19?； (2)?． (1)lR36
O
1例 6.利用弧度制证明扇形面积公式S?lR,其中l是扇形弧长,R是圆的半径.2
1证法一:∵圆的面积为?R2,∴圆心角为1rad的扇形面积为?R2,又扇形弧长
2?为l,半径为R,
ll11 ∴扇形的圆心角大小为rad, ∴扇形面积S??R2?lR．
RR22n??R2证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为S?，又此
360n?R1n?R1时弧长l?，∴S???R?l?R．
18021802可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．
11扇形面积公式:S?lR??R2 说明：以上公式中的?必须为弧度单位．
22例3、知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积。
变式练习 1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。
随堂练习
1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？
2. 下列命题正确的是： （ ）
（A）终边相同的角一定相等。 （B）第一象限的角都是锐角。 （C）锐角都是第一象限的角。 （D）小于900的角都是锐角。
3. 若a是第一象限的角，则?a是第 象限角。
24.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．
o5.集合M＝{α=k?90，k∈Z}中，各角的终边都在（ ） A．轴正半轴上， B． C．
6.设
o
o
轴正半轴上， 轴正半轴或 ，
轴或 轴上， D． 轴正半轴上
C＝{α|α= k180+45 ,k∈Z} ，
则相等的角集合为_ _．
7．终边在第一、三象限角的平分线上的角可表示为 [ ] A．k2180°+45°(k∈Z) B．k2180°±45°(k∈Z) C．k2360°+45°(k∈Z) D．以上结论都不对
8．在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是 [ ] A．α+β=π B．α+β=2kπ(k∈Z) C．α+β＝nπ(n∈Z) D．α+β＝(2k+1)π(k∈Z)
[ ]
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一象限角或第三象限角 D．第一象限角或第二象限角 9．在?ABC中，若?A:?B:?C?3:5:7，求A，B，C弧度数。
?10．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转45，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？