一、填空题
1．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有________．(填序号)
①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行； ②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直； ③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交； ④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面． 解析：对于①，若过点P有直线n与l、m都平行， 则l∥m，这与l，m异面矛盾；
对于②，过点P与l、m都垂直的直线，即为过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；
对于③，过点P与l、m都相交的直线有1条或0条； 对于④，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条． 答案：①③④
2．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为________． 解析：以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个． 答案：3
3．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题： ①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线； ③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； ④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面． 其中真命题的个数是________． 解析：若a⊥b，b⊥c，
则a与c可以相交、平行、异面，故①错． 若a、b异面，b、c异面，
则a、c可能异面、相交、平行，故②错．
若a、b相交，b、c相交，
则a、c可以异面、相交、平行，故③错． 同理④错，故真命题的个数为0. 答案：0
4．对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点； ②三条直线两两平行； ③三条直线共点；
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有________．
解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①. 答案：①④
5．对两条不相交的空间直线a和b，有下列命题：
①a?α，b?α；②a?α，b∥α；③a⊥α，b⊥α；④a?α，b⊥α.必定存在平面α，使得成立的命题的序号是________．
解析：因为两条不相交的空间直线a和b，所以存在平面α，使得a?α，b∥α. 答案：②
6．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有______对． 解析：正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有
12×4
12条，所以所求的黄金异面直线对共有2＝24对(每一对被计算两次，所以要除以2)． 答案：24
7.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出下列五个命题： ①直线AC1在平面CC1B1B内；
②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
③由点A、O、C可以确定一个平面； ④由A、C1、B1确定的平面是平面ADC1B1；
⑤若直线l是平面AC内的直线，直线m是平面D1C上的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上．
其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：①错误．若AC1?平面CC1B1B，又BC1?平面CC1B1B，∴AB?平面CC1B1B，与AB?平面CC1B1B矛盾；
②正确．O、O1是两平面的两个公共点； ③错误．∵A、O、C共线；
④正确．A、C1、B1不共线，∴确定平面α，又AB1C1D为平行四边形，AC1、B1D相交于O2点，而O2∈α，B1∈α， ∴B1O2?α，而D∈B1O2，∴D∈α；
⑤正确．若l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，∴交点一定在直线CD上． 答案：②④⑤
8.如图所示为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题： 2①点M到AB的距离为2； 1
②三棱锥C-DNE的体积是6； π
③AB与EF所成的角是2.
其中正确命题的序号是________．
解析：依题意可作出正方体的直观图，显然M到AB的距12为2MC＝2，
离
∴①正确，
111
而VC-＝××1×1×1＝DNE
326， ∴②正确，
π
AB与EF所成角为AB与MC所成的角，即为2. 答案：①②③
9．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
解析：图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN， 因此直线GH与MN异面； 图③中，连结MG，则GM∥HN， 因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H?平面GMN， 所以GH与MN异面．
所以图②、④中GH与MN异面． 答案：②④ 二、解答题
10．正方体ABCD-A1B1C1D1中： (1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 解析：(1)如图，连结AB1、B1C，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，
从而B1C与AC所成的锐角或直角就是AC与A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成角为60°.
(2)如图，连结AC、BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD， AC∥A1C1
∵E、F为AB、AD的中点， ∴EF∥BD， ∴EF⊥AC， ∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
11．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BC1D交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．
证明：A1A∥C1C，则A1A与C1C可确定平面A1C.
??
?? ?平面BC1D∩直线A1C＝O?O∈平面BC1D?
A1C?平面A1C?
??O∈平面A1C
又O∈A1C?
O在平面A1C与平面BC1D的交线上． AC∩BD＝M?M∈平面BC1D.
又M∈平面A1C，所以平面BC1D∩平面A1C＝C1M， 所以O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
12.如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.
(1)求AH∶HD；
(2)求证：EH、FG、BD三线共点． AECF
解析：(1)∵EB＝FB＝2，
∴EF∥AC.
∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH， 且平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH. 而EF∥AC， ∴AC∥GH. AHCG
∴HD＝GD＝3， 即AH∶HD＝3∶1. (2)证明：∵EF∥GH， EF1GH1且AC＝3，AC＝4，
∴EF≠GH.∴四边形EFGH为梯形． 令EH∩FG＝P，则P∈EH， 而EH?平面ABD， P∈FG，FG?平面BCD， 又平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.
∴EH、FG、BD三线共点．